SP20174题解

设 \(f_k(n)=\sigma_0(n^k)\)，考虑 PN 筛。

有 \(f_k(p)=k+1=f_{k-1}(p)+f_{k-1}(1)\)。

也就是说设 \(g_k=\mu^2 * f_{k-1}\)，有 \(g_K(p^k)=Kk+1+K(k-1)+1=K(2k-1)+1\)。

然后可以直接把 \(h_K\) 给暴力卷出来。（因为 \(g_K,f_K\) 和 \(h_K\) 都和 \(p\) 没有关系，所以只需要卷一次）

考虑如何求 \(\mu^2 * f_{k-1}\)。如果我们知道了 \(f=g * h\)，以及 \(g\) 和 \(h\) 的块筛（在集合 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 处的前缀和），显然可以来一个 \(n^{\frac{3}{4}}\) 计算 \(f\) 的块筛。如果加上线性筛预处理可以做到 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。

对于 \(\mu^2\) 的前缀和，我们设 \(mxs(n)\) 表示 \(n\) 的最大平方质因子，那么有：

\[\sum_{i=1}^{n}[mxs(i)=1] \]

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{d\mid mxs(i)}\mu(d) \]

\[\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d^2}\rfloor \]

于是我们可以 \(O(\sqrt{n})\) 计算 \(\mu^2\) 在单点处的前缀和，配合线性筛预处理可以做到 \(O(n^{\frac{2}{3}})\) 预处理 \(\mu^2\) 的块筛。

接下来需要干的就是计算 \(f_{k-1}\) 的块筛。容易发现这个也可以使用 PN 筛计算。

使用 PN 筛计算 \(f_3\) 和 \(f_2\)，对于 \(f_1\) 显然可以整除分块+线性筛处理其块筛。

复杂度 \(O(\sum n^{\frac{2}{3}})\)。

啊其实，容易发现有 \(f_2=\mu^2 * \sigma\)，所以 \(f_2\) 就没必要上 PN 筛了 qwq。