LGP7364题解

这题居然不要求联通（

设二分图数量 \(f_n\) 的 EGF 是 \(F(x)=\sum f_i\frac{x^i}{i!}\)，联通二分图数量 \(g_n\) 的 EGF 是 \(G(x)=\sum g_i\frac{x^i}{i!}\)。

首先很显然的去考虑枚举左部点的数量，得到：

\[g[n]=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)} \]

但是这显然是错的，因为其中有一部分联通块，将其左右部翻转会被算重。

于是考虑用联通图的数量去凑这个，假设这玩意儿的 EGF 是 \(H(x)\)，能得到：

\[H(x)=\sum\frac{2^iG^i(x)}{i!}=e^{2G(x)}=F(x)^2 \]

于是只需要求出 \(H(x)\) 然后将其开根即可。

\[h_n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)} \]

\[\frac{h_n}{n!2^{\binom{n}{2}}}=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!2^{\binom{i}{2}}}\times\frac{1}{(n-i)!2^{\binom{n-i}{2}}} \]

卷一遍即可。

#include<cstdio>
#define IMP(lim,act) for(int qwq=(lim),i=0;i^qwq;++i)act
const int n=100001,M=1<<18|5,mod=998244353;
int F[M];int fac[M],ifac[M],pw2[M],ipw2[M],buf[M<<1],*w[20];
inline int Getlen(const int&n){
	int len(0);while((1<<len)<n)++len;return len;
}
inline int Add(const int&a,const int&b){
	return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
inline int Del(const int&a,const int&b){
	return b>a?a-b+mod:a-b;
}
inline void swap(int&a,int&b){
	int c=a;a=b;b=c;
}
inline int pow(int a,int b=mod-2){
	int ans(1);for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;return ans;
}
inline void init(const int&n){
	const int&m=Getlen(n);int*now=buf;w[m]=now;now+=1<<m;
	w[m][0]=1;w[m][1]=pow(3,mod-1>>m+1);for(int i=2;i<(1<<m);++i)w[m][i]=1ll*w[m][i-1]*w[m][1]%mod;
	for(int k=m-1;k>=0&&(w[k]=now,now+=1<<k);--k)IMP(1<<k,w[k][i]=w[k+1][i<<1]);
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=pw2[0]=ipw2[0]=1;pw2[1]=2;ipw2[1]=mod+1>>1;
	for(int i=2;i<=n;++i)ifac[i]=1ll*(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*ifac[i]%mod;
	for(int i=2;i<=n;++i)pw2[i]=1ll*pw2[i-1]*pw2[1]%mod,ipw2[i]=1ll*ipw2[i-1]*ipw2[1]%mod;
	for(int i=1;i<=n;++i)pw2[i]=1ll*pw2[i-1]*pw2[i]%mod,ipw2[i]=1ll*ipw2[i-1]*ipw2[i]%mod;
}
inline void DFT(int*f,const int&M){
	const int&n=1<<M;
	for(int len=n>>1,d=M-1;d>=0;--d,len>>=1)for(int k=0;k^n;k+=len<<1){
		int*W=w[d],*L=f+(k),*R=f+(k|len),x,y;IMP(len,(x=*L,y=*R)),*L++=Add(x,y),*R++=1ll**W++*Del(x,y)%mod;
	}
}
inline void IDFT(int*f,const int&M){
	const int&n=1<<M;
	for(int len=1,d=0;d^M;++d,len<<=1)for(int k=0;k^n;k+=len<<1){
		int*W=w[d],*L=f+(k),*R=f+(k|len),x,y;IMP(len,(x=*L,y=1ll**W++**R%mod)),*L++=Add(x,y),*R++=Del(x,y);
	}
	const int&k=pow(n);IMP(n,f[i]=1ll*f[i]*k%mod);for(int i=1;(i<<1)<n;++i)swap(f[i],f[n-i]);
}
inline void Inv(int*f,const int&n){
	static int b1[M],b2[M],b3[M];const int&m=Getlen(n);b1[0]=pow(f[0]);
	for(int len=1;len<=m;++len){
		IMP(1<<len-1,b2[i]=2ll*b1[i]%mod);IMP(1<<len,b3[i]=f[i]);
		DFT(b1,len+1);DFT(b3,len+1);IMP(1<<len+1,b1[i]=1ll*b1[i]*b1[i]%mod*b3[i]%mod);IDFT(b1,len+1);
		IMP(1<<len,b1[i]=Del(b2[i],b1[i])),b3[i]=b3[1<<len|i]=b1[1<<len|i]=0;
	}
	IMP(n,f[i]=b1[i]);IMP(1<<m,b1[i]=b2[i]=0);
}
inline void Sqrt(int*f,const int&n){
	static int b1[M],b2[M];const int&m=Getlen(n);b1[0]=1;
	for(int len=1;len<=m;++len){
		IMP(1<<len-1,b2[i]=2ll*b1[i]%mod);Inv(b2,1<<len);
		DFT(b1,len);IMP(1<<len,b1[i]=1ll*b1[i]*b1[i]%mod);IDFT(b1,len);
		IMP(1<<len,b1[i]=Add(b1[i],f[i]));DFT(b1,len+1);DFT(b2,len+1);IMP(1<<len+1,b1[i]=1ll*b1[i]*b2[i]%mod);
		IDFT(b1,len+1);IMP(1<<len,b2[i]=b2[1<<len|i]=b1[1<<len|i]=0);
	}
	IMP(n,f[i]=b1[i]);IMP(1<<m,b1[i]=0);
}
signed main(){
	init(n<<1);IMP(n,F[i]=1ll*ifac[i]*ipw2[i]%mod);
	const int&len=Getlen(n+n-1);DFT(F,len);IMP(1<<len,F[i]=1ll*F[i]*F[i]%mod);IDFT(F,len);
	IMP(n,F[i]=1ll*F[i]*pw2[i]%mod);Sqrt(F,n);for(int i=1;i<n;++i)printf("%d\n",1ll*F[i]*fac[i]%mod);
}