斜率优化总结

妈的这玩意儿实在是太神秘了。。。一会儿对x排序一会儿对y排序，一会儿建凸包一会儿李超树。。。

这些细节性的东西还是写一个总结为好。不然以后一直犯要吃大亏。

众所周知斜率优化的方程都能够写成类似 $dp[i]=\max_{j=1}^{n}(x[i]\times k[j]+b[j])$。即一个一次函数的形式，并且这个一次函数是动态给出的。这个形式决定了斜率优化肯定能用李超树去做。

但是如果要求线性呢？线性一般使用单调队列，还是得去推柿子。

假设我们有两个决策点 $i$ 和 $j$，要求在 $x$ 处的最值。

众所周知最值问题都可以通过寻找谁比谁逊来解决。

$$x\times k[i]+b[i]<x\times k[j]+b[j]$$

$$x<\frac{b[j]-b[i]}{k[i]-k[j]}$$

$$-x>\frac{b[j]-b[i]}{k[j]-k[i]}$$

你也可以：

$$\frac{k[i]-k[j]}{b[j]-b[i]}<\frac{1}{x}$$

$$\frac{k[i]-k[j]}{b[i]-b[j]}>-\frac{1}{x}$$

对于第一种情况，需要找到一个点满足前面的斜率都比 $-x$ 小，后面的都比 $-x$ 大，所以需要斜率递增的下凸壳。同理，后者需要上凸壳。

但是需要注意几点。

如果要使用单调队列维护凸壳，需要保证给出的分母是递增的。（因为实际上是前缀的凸壳，每次都需要重新排序的）；如果要线性寻找答案，需要保证对应的 $-x$ 和 $-\frac{1}{x}$ 是递增的。

这个其实做题的时候分析比较好。。。如果记结论容易写挂的说。。。

如果以上二者都不满足，最好使用李超线段树，常数不大+好写好调，不像某个CDQ套凸包要调半天。