LGP3244题解

Burnside引理：

\(X\) 在群 \(G\) 作用下的等价类总数等于每一个 \(g\) 作用于 \(X\) 的不动点的算数平均值。

对于此题，\(X\) 代表每一种染色方案，\(G\) 则代表每一个排列（置换）。

我们需要计算的是，对于每一个置换，有多少种染色方法使得置换后颜色仍然相同。

众所周知置换是一车环。变成计算有多少种染色方法使得每个环的颜色都相同。

因为只有三种颜色，且数量均不超过 \(20\)，直接大力三维背包。

复杂度 \(O(m20^3)\)，可以通过。

别忘了我们还有一个置换：\(p[i]=i\)。

#include<cstdio>
typedef unsigned ui;
const ui M=25;
ui n,m,s1,s2,s3,mod,p[M*3],dp[M][M][M];
inline ui DP(ui*p){
	static ui m,w[M*3];static bool vis[M*3];
	for(ui i=1;i<=n;++i)vis[i]=false;m=0;
	for(ui i=0;i<=s1;++i)for(ui j=0;j<=s2;++j)for(ui k=0;k<=s3;++k)dp[i][j][k]=0;dp[0][0][0]=1;
	for(ui i=1;i<=n;++i)if(!vis[i]){
		w[++m]=1;ui now=p[i];
		while(now!=i)vis[now]=true,++w[m],now=p[now];
	}
	for(ui x=1;x<=m;++x){
		for(ui i=s1;~i;--i)for(ui j=s2;~j;--j)for(ui k=s3;~k;--k){
			if(w[x]<=i)dp[i][j][k]+=dp[i-w[x]][j][k];
			if(w[x]<=j)dp[i][j][k]+=dp[i][j-w[x]][k];
			if(w[x]<=k)dp[i][j][k]+=dp[i][j][k-w[x]];
			dp[i][j][k]%=mod;
		}
	}
	return dp[s1][s2][s3];
}
signed main(){
	ui sum(0);
	scanf("%u%u%u%u%u",&s1,&s2,&s3,&m,&mod);n=s1+s2+s3;
	for(ui i=1;i<=m;++i){
		for(ui i=1;i<=n;++i)scanf("%u",p+i);sum+=DP(p);
	}
	for(ui i=1;i<=n;++i)p[i]=i;sum+=DP(p);
	for(ui i=1;i<mod;++i)if(i*(m+1)%mod==1)printf("%u",sum*i%mod);
}