CF772D题解

什么阴间十进制状压

题意：给定 $ n $ 数字，求定义函数 $ G(x) $ 能够表示 满足“十进制按位与为 $ x $”的集合的平方和之和乘上 \(x\)，求 \(\bigoplus _{i=0}^{999999}G(i)\)。

这个题很明显干的事情就是让我们对每个数求出一车集合，然后将这一车集合用奇怪的方式加密输出。

当你在求恰好的时候，先想想如何求包含，因为恰好特别难求。

包含不就是个十进制的超集求和？

枚举哪一位，内层再套一个枚举每一个下标，如果这个下标的这一位是 \(9\) 就不转移，否则就做一个后缀和。

然后已经得到包含了，如何得到恰好？

先不想十进制，先来想想二进制干了些什么。

二进制似乎就是做了类似 \(a[n][m]=s[n][m]-s[n-1][m]-s[n][m-1]+s[n-1][m-1]\) 的事情？

也就是差分，所以再差分回去。

不过要注意最前面的后缀和是合并集合意义上的后缀和，后面的差分仅仅是对平方和的差分。

为什么是这样的？

假设这个数组是 \(f[S]\)，那么 \(f[S]\) 包含的是一车平方和之和，平方和之间没有任何关系，当然可以做一个差分把多的部分扔掉。

那么问题来了，如何维护平方和？

\[(\sum_{x \in S1} x+\sum_{y \in S2} y)^2=(\sum_{x \in S1})(\sum_{y \in S2}y)^2+(\sum_{x \in S1}x)(\sum_{y \in S2}y)+(\sum_{x \in S1}x)^2(\sum_{y \in S2} \]

所以维护一个 $ 0 $ 次和与一个一次和，再维护一个二次和。可以做到 \(O(6 \times 10^6 \times 2^2)\)。

一次和用类似的推柿子即可。

不过理论上来说这玩意儿实际上是低次多项式，所以可以使用将多项式转化为下降幂多项式的 trick，\(O(2)\) 合并两个下降幂多项式，最后 \(O(2)\) 得到答案，复杂度是 \(O(6 \times 10^6 \times 2+10^6 \times 2+2^2)\)。不过没有啥意义

注意一下这题的输出有点儿奇怪，是取模之后乘上一个数再异或，而不是乘上一个数之后取模再异或

#include<cstdio>
#include<cctype>
typedef unsigned ui;
const ui M=1000005,mod=1e9+7,pw10[]={1,1,10,100,1000,10000,100000};
ui n,B[M];char buf[M*7],*p=buf;
inline ui read(){
	ui n(0);char s;while(!isdigit(s=*p++));while(n=n*10+(s&15),isdigit(s=*p++));return n;
}
struct data{
	ui s0,s1,s2;
	data(const ui&s0=1,const ui&s1=0,const ui&s2=0):s0(s0),s1(s1),s2(s2){}
	inline data operator*(const data&it)const{
		return data(1ull*s0*it.s0%mod,(1ull*s1*it.s0+1ull*s0*it.s1)%mod,(1ull*s2*it.s0+2ull*s1*it.s1+1ull*s0*it.s2)%mod);
	}
}f[M];
signed main(){
	ui i,j,k,x;unsigned long long ans(0);fread(buf,1,sizeof buf,stdin);n=read();
	for(i=1;i<=n;++i)x=read(),f[x]=f[x]*data(2,x,1ull*x*x%mod);
	for(i=1;i<=6;++i)for(j=999999;~j;--j)if(j/pw10[i]%pw10[2]^9)f[j]=f[j]*f[j+pw10[i]];
	for(i=0;i^1000000;++i)B[i]=f[i].s2;
	for(i=1;i<=6;++i)for(j=0;j^1000000;++j)if(j/pw10[i]%pw10[2]^9)B[j]=(B[j]+mod-B[j+pw10[i]])%mod;
	for(i=0;i^1000000;++i)ans^=1ull*i*(B[i]%mod);printf("%llu",ans);
}