BSOJ5086题解

题意略。

我们设 \([x^k]G_n(x)\) 代表深度为 \(n\) 的树，距离为 \(k\) 的点对数量，\([x^k]F_n(x)\) 为深度为 $ n $ 的树中，深度为 \(k\) 的节点数量。

首先列出转移式：

\[F_n(x)=x+\sum_{i=2}^{n-1}x^iF_{n-i}(x) \]

稍微替换一下可以得到 \(F_n(x)=xF_{n-1}(x)+x^2F_{n-2}(x)+x-x^2\)。

然后来看一下 \(G_n(x)\) 应该如何推导。

容易发现每个黑色节点都在一条黑色节点组成的链上，且每个黑色节点一定挂着一个白色节点。

于是我们考虑通过这条链进行对 \(G_n(x)\) 的转移。

容易发现：

\[G_n(x)=\sum_{i=2}^{n-1}G_{n-i}(x)+\frac {F_{n-i}(x)(F_{n-i+1}(x)-x)} x+\frac {F_n(x)} x-1 \]

使用类似推导 \(F_n(x)\) 的方法，可以得到

\[G_n(x)=G_{n-1}(x)+G_{n-2}(x)+\frac {F_{n-1}(x)F_{n-2}(x)+F_n(x)-F_{n-1}(x)} x-F_{n-2}(x) \]

直接使用多项式转移可以得到 \(80pts\)。

我们考虑动态维护 \(F_{n-1}(x)F_{n-2}(x)\)，这样就不需要计算多项式乘法了。

容易发现 \(F_n(x)\) 实际上是对斐波那契数列的生成函数稍微修改后截取前 \(n+1\) 项。

设 \(\delta_n(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)-F_{n-1}(x)F_{n-2}(x)=F_{n-1}(x)(F_n(x)-F_{n-2}(x))\)。

容易发现 \(\delta_n(x)\) 是一个只有两项的多项式和一个 \(n\) 次多项式卷积的结果，可以 \(O(n)\) 被计算出来。

于是 \(G_n(x)\) 就可以被 \(O(n)\) 计算了，能够达到 \(O(n^2)\) 的复杂度。

如果要优化到 \(O(n)\) 的空间复杂度，可以计算每一项个多项式的贡献，贡献可以通过斐波那契数列计算。