在线O(1)求逆元

怎么还有厉害的在线O(1)求逆元，不过常数确实有点儿太大了

本文大部分搬运于这里

相信大家都做过 POJ2478 这道题吧，这道题的 Farey 序列 $F_n$ 包含了分子分母不大于 $n$ 且互质的数。该分数可以为 $0$ 和 $1$。

嗯我们现在要把 $F_{\sqrt [3]p}$求出来，然后有一个妙妙定理，就可以在线地 $O(1)$ 求逆元。

定理：给定一个分数 $\frac a b(0 \leq \frac a b \leq 1)$和一个 $n(n > 1)$，你都可以在 $F_{n-1}$ 中找到一个分数使得 $|\frac a b-\frac x y| \leq \frac 1 {yn}$，并且这个分数一定是 $\frac a b$ 在序列中使用 useful binary search 后往前或往后的第一个数。

证明？注意到 $F_{n-1}$ 实际上包含了分子分母都不大于 $n$ 的所有分数，只不过将其去重了。所以我们对每一个分母都讨论一遍。

差不多就是要证明对于所有不大于 $n$ 的数对 $(x,y)$，$[\frac x y-\frac 1 {ny},\frac x y+\frac 1 {ny}]$ 的并包含了 $[0,1]$。也就是对于任意一个区间，一定有另一个在其右侧区间与其相交。

通分：$[\frac {nx-1} {ny},\frac {nx+1} {ny}]$。

那么我们接下来需要证明对于 $x_1<y_1$ 一定有 $x_2<y_2$ 满足 $\frac {x_1}{y_1} \ne \frac {x_2}{y_2}$ 且 $\frac {nx_1+1}{ny_1}>\frac {nx_2-1}{ny_2}$。

还是通分：$nx_1y_2+y_2>nx_2y_1-y_1$，也就是 $y_1+y_2>n(x_2y_1-x_1y_2)$。很明显一定有 $x_2=x_1-1,y_2=y_1-1$ 满足条件。

啥？$x_1=0,y_1=1$？右端点为 $\frac 1 n$，那么存在 $\frac 1 {n-1}$ 满足 $\frac 1 {n-1} - \frac 1 {n(n-1)}=\frac 1 n$。

所以自然就是二分查找后向前或向后的第一个数。

以上内容均为口胡

我们发现这个结论 $|\frac a b - \frac x y| \leq \frac 1 {yn}$，通分之后就是 $| ay-bx | \leq \lfloor \frac b n \rfloor$。这里把 $b$ 用 $p$ 替换一下。

上面的结论相当于 $ay \equiv t \pmod p$，且 $t \leq \lfloor \frac p n \rfloor$，相当于 $a^{-1} \equiv yt^{-1} \pmod p$。

所以只需要找到这个分数之后，处理 $t$ 的逆元就好了啊。

因为 $t \leq \lfloor \frac p n \rfloor$，我们预处理一个长度为 $n$ 的 Farey 肯定需要至少 $O(n^2)$ 的时间，$n^2=\frac p n$，得到 $n=\sqrt [3]p$。所以需要预处理 $F_{\sqrt [3]p}$ 和 $p^{\frac 2 3}$ 以内的数的逆元。

那么如何 $O(n^2)$ 预处理 Farey 序列和 $O(1)$ 二分查找？

我们可以请教神圣二分帝国皇帝 Um_nik

对于 Farey 序列中的任意两个数 $\frac {x_1}{y_1}$ 和 $\frac {x_2}{y_2}$，有 $\frac {x_1}{y_1}-\frac {x_2}{y_2}=\frac {x_1y_2-x_2y_1}{y_1y_2}$。在分母最大的情况下不大于 $p^{\frac 2 3}$，分子最小不小于 $1$，所以只需要将原分数乘上 $p^{\frac 2 3}$ 后向下取整，一定互不相同。

所以只需要把 $\frac x y$ 映射到 $\lfloor \frac {x \times p^{\frac 2 3}} y \rfloor$ 后桶排序就可以啦。

代码压过行，还卡过常，实际上写起来也不是很长。

目测常数是正常离线求逆的 $2 \sim 3$ 倍。

#include<iostream>
#include<cctype>
#include<cmath>
typedef unsigned ui;
typedef __uint128_t L;
typedef unsigned long long ull;
const ui M1=1000,M2=M1*M1;
ui T,m1,m2,MOD,len,fra[M2+5],inv[M2+5],sum[M2+5];
ui q[M2+5];ull p[M2+5];
double invm1,INV;
char buf[1<<22|1],*p1=buf;
inline char Getchar(){
	return*p1=='\0'&&(std::cin.read(p1=buf,1<<22)),*p1++;
}
struct FastMod{
	ull b,m;
	FastMod(ull b):b(b),m(ull((L(1)<<64)/b)){}
	friend inline ull operator%(const ull&a,const FastMod&mod){
		ull r=a-(L(mod.m)*a>>64)*mod.b;
		return r>=mod.b?r-mod.b:r;
	}
}mod(2);
inline ull abs(const ull&a){
	return a>>63?-a:a;
}
inline ui read(){
	ui n(0);char s;
	while(!isdigit(s=Getchar()));
	while(n=n*10+(s&15),isdigit(s=Getchar()));
	return n;
}
inline void init(){
	ui i,j,x;
	for(i=1;i^m1;++i){
		const double&INV=1./i+1e-15;
		for(j=0;j^i;++j)if(!sum[x=1ull*j*m2*INV])sum[x]=1,fra[x]=m1*i+j;
	}
	for(i=0;i<=m2;++i){
		if(sum[i])++len,q[len]=fra[i]*invm1,p[len]=1ull*(fra[i]-q[len]*m1)*MOD;
		if(i)sum[i]+=sum[i-1];inv[i]=i>1?1ull*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%mod:i;
	}
}
inline ui Inv(const ui&a){
	static ui q,k;static ull t;
	if(a<=m2)return inv[a];if(MOD-a<=m2)return MOD-inv[MOD-a];k=sum[ui(a*INV)];
	if(k<=len){
		q=::q[k];t=1ull*a*q-p[k];
		if(abs(t)<=m2)return 1ull*q*(t>>63?MOD-inv[-t]:inv[t])%mod;
	}
	if(++k<=len){
		q=::q[k];t=1ull*a*q-p[k];
		if(abs(t)<=m2)return 1ull*q*(t>>63?MOD-inv[-t]:inv[t])%mod;
	}
	return-1;
}
signed main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
	ui k,x,sum(0);T=read();MOD=read();mod=FastMod(MOD);x=k=read();
	m1=pow(MOD,1./3)+1;m2=m1*m1;invm1=1./m1+1e-15;INV=1.*m2/MOD+1e-15;init();
	while(T--)sum=(sum+1ull*x*Inv(read()))%mod,x=1ull*x*k%mod;std::cout<<sum;
}