CF1453D题解

VP 的时候发现的一道数学题（

在思考这个问题之前，先让我们思考一件事：走到距离上一个存档点 $n$ 的位置的期望是多少？（假设这个值为 $f[n]$）

先思考 $f[1]$ 是多少，很明显是：

$$S=\sum_{i=0}^{\infty}i \times 2^{-i}$$

手拆一下：

$$2^{-1}S=\sum_{i=1}^{\infty}(i-1) \times 2^{-i}$$

相减：

$$2^{-1}S=\sum_{i=1}^{\infty}2^{-i}$$

很容易得到 $2^{-1}S=1$，也就是 $f[1]=2$ 当然你也可以通过观察样例来得到这个结论

来思考 $f[n]$，考虑从 $f[n-1]$ 递推过来。枚举失败的次数：

$$f[n]=\sum_{k=0}^{\infty}((k+1) \times f[n-1]+(k+1)) \times 2^{-k-1}$$

$$f[n]=(f[n-1]+1)\sum_{k=1}^{\infty}k \times 2^{-k}$$

于是有 $f[n]=(f[n-1]+1) \times 2$。手玩一下即可发现 $f[n]=2^{n+2}-2$。

因为期望具有线性性，（$E(a+b)=E(a)+E(b)$）于是问题就变成了了如何用若干个 $f$ 凑出 $k$。

变形一下，$f[n]=2(2^{n+1}-1)$，说明 $n$ 为奇数时一定不行。

于是我们枚举最大的 $f$，枚举到一个就让 $k$ 减去 $f$，然后当做当前的 $k$ 接着做。

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll k,f[61];int len,ans[2005];
signed main(){
	int T,i,j;ll k;f[0]=2;scanf("%d",&T);
	for(int i(1);i<=60;++i)f[i]=f[i-1]+1<<1;
	while(T--){
		scanf("%lld",&k);len=0;
		if(k&1){
			printf("-1\n");continue;
		}
		for(i=60;i>=0;--i){
			while(k>=f[i]){
				ans[++len]=1;
				for(j=1;j<=i;++j)ans[++len]=0;k-=f[i];
			}
		}
		printf("%d\n",len);
		for(i=1;i<=len;++i)printf("%d ",ans[i]);printf("\n");
	}
}