SP2742题解
晚自习用10min推出结论,太屑了
设 \(S=\sum_{i=1}^n a_i\),很显然每个位置的答案 \(ans_i\) 只和 \(a_i\) 和 \(S\) 有关。让我们打个表,找一下规律:
\[a_i
\]
\[S-a_i
\]
\[nS-2S+a_i
\]
\[n^2S-3nS+3S-a_i
\]
\[n^3S-4n^2S+6nS-4S+a_i
\]
我们发现系数是杨辉三角,也就是二项式系数。
所以答案是:
\[\sum_{i=0}^{T-1}\binom T i(-1)^in^{T-i-1}S+(-1)^Ta_i
\]
二项式定理化简一下,答案就是 \(\frac {(n-1)^T+(-1)^{T+1}} n \times S+(-1)^Ta_i\)。
有没有什么严格的证明?
这里需要用到生成函数。
设 \(f_{T,i}\) 是变换 \(T\) 次后,\(n^{i-1}S\) 的系数。
很明显有 \(f_{T,i}=nf_{T-1,i-1}-f_{T-1,i}\)。
设 \(F_T(x)=\sum_{i=0}^T f_{T,i}x^i\),我们要求的就是 \(\frac {F_T(n)-f_{T,0}} n \times S+f_{T,0}a_i\)。
考虑 \(F_T(x)\) 与 \(F_{T-1}(x)\) 的关系,如果将上面的递推式中的 \(n\) 看做 \(x\),很明显有 \(F_T(x)=(x-1)F_{T-1}(x)\)。
而我们又知道 \(F_0(x)=1\),所以 \(F_T(x)=(x-1)^T\)。