LGP4714题解
没意思啊
题意:求 \(1^{k+2}(n)\),其中规定 \(1^k\) 在 \(k=1\) 时为 \(1\),在 \(2 \leq k\) 时为 \(1 * 1^{k-1}\)(*
为狄利克雷卷积,\(1(n)=1\))。
给一个积性函数,然后求其值,先将其分解质因数,在质数幂处分别求值,最后乘起来。
所以问题变成了求 \(1^k(p^K)\)。
设多项式 \(F_p^k(x)=\sum_{i=0}^{\infty}1^k(p^K)x^i\)
很明显对于所有 \(p\),当 \(k\) 相同时,\(F_p^k\) 是相等的。
而在这个意义下,求 \(f(p^K)\)就变成了求 \([x^K](F_p^1(x))^k\)。
很明显 \(F_p^1(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i\),所以 \(f(p^K)\) 实际上就是对多项式 \(1\) 做 \(k+2\) 遍前缀和。
然后根据P5488,我们能够得到 \(f(p^K)=\binom K {K+k}=\frac {\prod_{i=1}^K(k+i)} {K!}\)。
然后就是分解质因子了,因为懒得写 PR 所以看了题解,把常用的三个质数特判了一下(
#include<cstdio>
const int M=1e6+5,mod=998244353;
int k,ans=1,top,inv[75],pri[M];bool zhi[M];
long long x,n;
inline int Add(const int&a,const int&b){
return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
inline int Del(const int&a,const int&b){
return b>a?a-b+mod:a-b;
}
inline void sieve(const int&M){
register int i,j,x;
for(i=2;i<=M;++i){
if(!zhi[i])pri[++top]=i;
for(j=1;(x=i*pri[j])<=M;++j){
zhi[i]=true;
if(!(i%pri[j]))break;
}
}
pri[++top]=mod;pri[++top]=1e9+7;pri[++top]=1e9+9;
}
inline int calc(const int&n){
register int i,ans=1;
for(i=1;i<=n;++i)ans=1ll*ans*inv[i]%mod*Del(Add(n+2,k),i)%mod;
return ans;
}
signed main(){
register int i,cnt;
scanf("%lld%lld",&n,&x);k=x%mod;
sieve(1e6);inv[1]=1;
for(i=2;i<=70;++i)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(i=1;i<=top&&1ll*pri[i]*pri[i]<=n;++i){
if(n%pri[i])continue;cnt=0;
while(!(n%pri[i]))n/=pri[i],++cnt;
ans=1ll*ans*calc(cnt)%mod;
}
if(n>1)ans=1ll*ans*calc(1)%mod;
printf("%d",ans);
}