LGP5089题解

考试的一道题，考场上sb了没写出来，然后在两天后的英语课上胡出来了（

首先猜一个奇怪的结论：

对于元素 $(a,b)$，看做连接第 $a$ 列和第 $b$　行的一条边，那么如果一行和一列在同一个联通块内（第 $x$ 行和第 $y$ 列），那么 $(x,y)$ 处一定能通过核聚变生成，或本来就有一个元素。

证明：

考虑数学归纳法。

假设一行与一列之间一共有 $2k-1$ 条边。

1. $k=1$

很明显，该点有一个元素。
2. $k=2$

假设三条边为 $(a,b)(b,c)(c,d)$。

看一眼核聚变的规则，发现 $(a,d)$ 有一条边。
3. $k>2$

两个点之间有边的条件是存在一条长度为 $3$ 的路径连接这两个点。

而结论 $k=2$ 的情况说明长度为 $3$ 边能变成一条长度为 $1$ 的边，也就是这两个节点之间的距离减少了 $2$。

然后我们发现 $2k-1 - 2(k-1) = 1$ 即两点间有边，也就是这一行和这一列连接在了一起。

证毕。

这个结论告诉我们，我们只需要将所有行和列连接在一起就行了。

所有我们只需要数有多少个联通块，数量-1即为答案。

code:

#include<cstdio>
const int M=2e5+5;
int n,m,q;bool vis[M<<1];
struct Edge{
	int to;Edge*nx;
}e[M<<1],*h[M<<1],*cnt=e;
inline void Add(const int&u,const int&v){
	*cnt=(Edge){v,h[u]};h[u]=cnt++;
	*cnt=(Edge){u,h[v]};h[v]=cnt++;
}
void DFS(int u){
	vis[u]=true;
	for(Edge*E=h[u];E;E=E->nx){
		int v=E->to;
		if(vis[v])continue;
		DFS(v);
	}
}
signed main(){
	register int i,u,v,ans=0;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(i=1;i<=q;++i){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		Add(u,v+n);
	}
	for(i=1;i<=n+m;++i){
		if(!vis[i])DFS(i),++ans;
	}
	printf("%d",ans-1);
}