min_25 筛学习小记
min_25筛
由 dalao min_25 发明的筛子,据说时间复杂度是极其优秀的 \(O(\frac {n^{\frac 3 4}} {\log n})\),常数还小。
1. 质数 \(k\) 次方前缀和(基础)
求 \(\sum_{p \leq n}p^k\)
我们考虑一个 \(\rm DP\) 的思路:设 \(g(n,j)\) 为:
其实就是不大于 \(n\) 的,且不含有 \(p_1\) ~ \(p_j\) 中任意一个质因子的数的 \(k\) 次方之和。
我们考虑从 \(g(n,j-1)\) 转移上来。
发现 \(g(n,j)\) 相对于 \(g(n,j-1)\) 减少的就是含有 \(p_k\) 质因子的数的 \(k\) 次方之和,于是我们得到了转移方程:
但是,这个方程似乎有点儿问题?
我们把 \(p_j\) 以内的质数算重了,所以要加上。
最终的方程就是:
不过如果我们要维护 \(O(n)\) 个 \(g\) 复杂度开销是很大的,所以考虑玄学优化去掉不重要的东西。
首先我们注意到,在 \(p_j > \sqrt n\) 是,对答案的贡献只有 \(p_j^k\),所以我们可以先只考虑 \(p_j \leq \sqrt n\) 的情况。
\(g(p_{j-1},j-1)\) 显然可以在 \(O(\sqrt n)\) 的复杂度内线性筛预处理出来,就只需要考虑 \(g(\lfloor \frac n {p_j} \rfloor,j)\)
然后根据整除分块的结论,我们只需要处理 \(O(\sqrt n)\) 个 \(g\) 就行了。。。
然后复杂度就降下来了,我也不会证,不过看上去似乎是 \(O(\sqrt n\log\log n)\) 的(?)
但是 \(n\) 太大需要离散化。。。
所以我们依照杜教筛的离散化,把大于 \(\sqrt n\) 的映射到 \(1\) ~ \(\sqrt n\)。
给一下参考代码(这里只算了质数的 \(1\) 次方和 \(2\) 次方之和):
const int St=1e6+5,mod=1e9+7;
inline int Add(const int&a,const int&b){
return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
inline int Get(const ll&k){
return k<=sqr?id1[k]:id2[n/k];
}
inline void seive(const int&n){
int i,j,x;zhi[1]=1;
for(i=2;i<=n;++i){
if(!zhi[i]){
pri[++top]=i;
sum1[top]=Add(sum1[top-1],i);
sum2[top]=Add(sum2[top-1],1ll*i*i%mod);
}
for(j=1;j<=top&&(x=i*pri[j])<=n;++j){
zhi[x]=1;
if(!(i%pri[j]))break;
}
}
}
ll min_25(const ll&n){
int i,j;
seive(sqr=sqrt(n));
for(ll L=1,R;L<=n;L=R+1){
R=n/(n/L);
w[++tot]=n/L;
g1[tot]=w[tot]%mod;
g2[tot]=g1[tot]*(g1[tot]+1)/2%mod*(g1[tot]*2+1)%mod*inv3%mod-1;
g1[tot]=g1[tot]*(g1[tot]+1)/2%mod-1;
if(n/L<=sqr)id1[n/L]=tot;
else id2[n/(n/L)]=tot;
}
for(i=1;i<=top;++i){
for(j=1;j<=tot&&pri[i]*pri[i]<=w[j];++j){
ll k=Get(w[j]/pri[i]);
g1[j]-=pri[i]*(g1[k]-sum1[i-1]+mod)%mod;
g2[j]-=pri[i]*pri[i]%mod*(g2[k]-sum2[i-1]+mod)%mod;
if(g1[j]<=0)g1[j]+=mod;
if(g2[j]<=0)g2[j]+=mod;
}
}
}
在实现的时候将 \(g\) 的第二维滚掉了qwq
2.min_25筛
没错前面的都是铺垫(雾)
让我们看看我们要求的问题:
其中 \(f\) 是一个低阶多项式,其在质数乘方处的取值能够快速算出。
将答案分成两部分考虑:
其中 \(minp\) 是 \(i\) 最小的质因子。
按照类似上面 \(\rm DP\) 的套路,设 \(S(n,x)\) 是不大于 \(n\) 的,且不含有 \(p_1\) ~ \(p_x\) 中任何一个因子的 \(f\) 之和。
显然答案是 \(S(n,0)\)。
再将答案分成两部分,一部分是大于 \(p_x\) 的质数的 \(f\) 之和,另一部分就是剩下的。
第一部分,也就是 \(g(n) - g(p_x)\)。
对照着上面的式子,我们可以得到以下的转移方程
然后还有一些细节,就是关于 \(1\) 的问题。。。
由于是照着 \(\rm wucstdio\) dalao 的题解学的,所以我也没有算 \(1\),而是在结束时加上。
例题
在质数处就是 \(p^2 - p\)
只需要筛出质数的 \(1\) 次方前缀和和 \(2\) 次方前缀和即可。
不要问我为什么上面的代码筛的也是 \(1\) 次和 \(2\) 次前缀和,我懒总行了吧
#include<cstdio>
#include<cmath>
typedef long long ll;
const int St=1e6+5,mod=1e9+7,inv3=333333336;
int sqr,top,tot,zhi[St],id1[St],id2[St];
ll n,w[St],g1[St],g2[St],pri[St],sum1[St],sum2[St];
inline int Add(const int&a,const int&b){
return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
inline int Get(const ll&k){
return k<=sqr?id1[k]:id2[n/k];
}
inline void seive(const int&n){
int i,j,x;zhi[1]=1;
for(i=2;i<=n;++i){
if(!zhi[i]){
pri[++top]=i;
sum1[top]=Add(sum1[top-1],i);
sum2[top]=Add(sum2[top-1],1ll*i*i%mod);
}
for(j=1;j<=top&&(x=i*pri[j])<=n;++j){
zhi[x]=1;
if(!(i%pri[j]))break;
}
}
}
ll S(const ll&n,const int&k){
if(pri[k]>=n)return 0;
ll x=Get(n),ans=Add((g2[x]-g1[x]+sum1[k]-sum2[k])%mod,mod);
for(int i=k+1;i<=top&&pri[i]*pri[i]<=n;++i){
ll p=pri[i];
for(int e=1;p<=n;++e,p*=pri[i]){
ll id=p%mod;
ans=Add(ans,id*(id-1)%mod*((e!=1)+S(n/p,i))%mod);
}
}
return ans;
}
ll min_25(const ll&n){
int i,j;
seive(sqr=sqrt(n));
for(ll L=1,R;L<=n;L=R+1){
R=n/(n/L);
w[++tot]=n/L;
g1[tot]=w[tot]%mod;
g2[tot]=g1[tot]*(g1[tot]+1)/2%mod*(g1[tot]*2+1)%mod*inv3%mod-1;
g1[tot]=g1[tot]*(g1[tot]+1)/2%mod-1;
if(n/L<=sqr)id1[n/L]=tot;
else id2[n/(n/L)]=tot;
}
for(i=1;i<=top;++i){
for(j=1;j<=tot&&pri[i]*pri[i]<=w[j];++j){
ll k=Get(w[j]/pri[i]);
g1[j]-=pri[i]*(g1[k]-sum1[i-1]+mod)%mod;
g2[j]-=pri[i]*pri[i]%mod*(g2[k]-sum2[i-1]+mod)%mod;
if(g1[j]<=0)g1[j]+=mod;
if(g2[j]<=0)g2[j]+=mod;
}
}
return Add(S(n,0),1);
}
signed main(){
scanf("%lld",&n);
printf("%d",min_25(n));
}
因为某些原因,对这个板子卡了常数,下面放出卡常后的代码:
#include<cstdio>
#include<cmath>
typedef unsigned ui;
typedef unsigned long long ull;
const ui M=1e5+5,mod=1e9+7;
ui S,top,pos[M],pri[M],p1[M],p2[M],s1[M],s2[M];ui g1[M<<1],g2[M<<1];double inv[M];ull n;
inline void Get(const ui&id,const ui&n){
g1[id]=n*(n+1ull)/2%mod;g2[id]=333333336ull*g1[id]%mod*(2ull*n+1)%mod;--g1[id];--g2[id];
}
inline ui pow(ui a,ui b){
ui ans(1);for(;b;b>>=1,a=1ull*a*a%mod)if(b&1)ans=1ull*ans*a%mod;return ans;
}
inline void sieve(){
ui i,j,x;inv[1]=1;
for(i=2;i<=S;++i){
inv[i]=1./i+1e-15;
if(!pos[i]){
pri[pos[i]=++top]=i;
s1[top]=(s1[top-1]+(p1[top]=i))%mod;
s2[top]=(s2[top-1]+(p2[top]=1ull*i*i%mod))%mod;
}
for(j=1;j<=pos[i]&&(x=i*pri[j])<=S;++j)pos[x]=j;
}
}
ui DFS(const ull&n,const ui&k,const ui&id){
if(pri[k]>=n)return 0;
ui e,x=n<=S?S+n:id,s;s=(mod+g2[x]-g1[x])%mod;s=(s+mod-(mod+s2[k]-s1[k])%mod)%mod;ull p;double I;
for(ui i=k+1;i<=top&&pri[i]<=ui(n*inv[pri[i]]);++i){
p=pri[i];s=(s+p*(p-1)%mod*DFS(ull(n*inv[p]),i,id*p))%mod;p*=pri[i];I=inv[pri[i]]*inv[pri[i]];
for(e=2;p<=n;p*=pri[i],I*=inv[pri[i]],++e)x=p%mod,s=(s+x*(x-1ull)%mod*(1+DFS(n/p,i,id*p)))%mod;
}
return s;
}
ui min25(const ull&n){
ui i,j,x,P1,P2,S1,S2;bool typ;S=sqrt(n);typ=1ull*S*S==n;sieve();
for(i=1;i<S;++i)Get(i,ull(n*inv[i])%mod),Get(S+i,i);Get(S,ui(n*inv[S])%mod);if(!typ)Get(S<<1,S);
for(i=1;i<=top;++i){
const ui&P=pri[i];const double&X=n*inv[P],&INV=inv[P];P1=p1[i];P2=p2[i];S1=s1[i-1];S2=s2[i-1];
for(j=1;(x=P*j)<=S;++j){
g1[j]=(g1[j]+1ull*P1*(mod+S1-g1[x]))%mod;
g2[j]=(g2[j]+1ull*P2*(mod+S2-g2[x]))%mod;
}
for(;1ull*P*(x=P*j)<=n&&j<=S;++j){
x=X*inv[j];
g1[j]=(g1[j]+1ull*P1*(mod+S1-g1[S+x]))%mod;
g2[j]=(g2[j]+1ull*P2*(mod+S2-g2[S+x]))%mod;
}
for(j=S-typ;1ull*P*P<=j;--j){
x=j*INV;
g1[S+j]=(g1[S+j]+1ull*P1*(mod+S1-g1[S+x]))%mod;
g2[S+j]=(g2[S+j]+1ull*P2*(mod+S2-g2[S+x]))%mod;
}
}
return DFS(n,0,1)+1;
}
signed main(){
scanf("%llu",&n);printf("%u",min25(n));
}
然后是一道很经典的三倍经验题DIVCNTK,做出这道题后 DIVCNT2 和 DIVCNT3 就是三倍经验。
设积性函数 \(f(p^e)=d((p^e)^k)=d(p^{ek})\)
在质数处的取值就是 $ k+1 $
#include<cstdio>
#include<cmath>
typedef unsigned long long ull;
const int M=2e6+5;
ull n,m,lim,sqr,tot,top,w[M],g[M],pri[M],zhi[M],id1[M],id2[M];
inline int Get(const ull&k){
return k<=sqr?id1[k]:id2[n/k];
}
inline void sieve(const int&n){
int i,j,x;zhi[1]=1;
for(i=2;i<=n;++i){
if(!zhi[i])pri[++top]=i;
for(j=1;j<=top&&(x=i*pri[j])<=n;++j){
zhi[x]=1;
if(!(i%pri[j]))break;
}
}
}
ull S(const ull&n,const int&k){
if(pri[k]>=n)return 0;
ull x=Get(n),ans=g[x]-k*(m+1);
for(ull i=k+1;i<=lim&&pri[i]*pri[i]<=n;++i){
for(ull e=1,p=pri[i];p<=n;++e,p*=pri[i]){
ans+=(e*m+1)*(S(n/p,i)+(e!=1));
}
}
return ans;
}
ull min_25(const ull&n){
int i,j;
sqr=sqrt(n);tot=0;lim=1;
while(pri[lim]*lim[pri]<=n)++lim;--lim;
for(ull L=1,R;L<=n;L=R+1){
R=n/(n/L);
w[++tot]=n/L;
g[tot]=w[tot]-1;
if(n/L<=sqr)id1[n/L]=tot;
else id2[n/(n/L)]=tot;
}
for(i=1;i<=lim;++i){
for(j=1;j<=tot&&pri[i]*pri[i]<=w[j];++j){
ull k=Get(w[j]/pri[i]);
g[j]-=g[k]-i+1;
}
}
for(i=1;i<=tot;++i)g[i]*=(m+1);
return S(n,0)+1;
}
signed main(){
int i,T;
sieve(2e6);
scanf("%d",&T);
for(i=1;i<=T;++i){
scanf("%llu%llu",&n,&m);
printf("%llu\n",min_25(n));
}
}