线段维护最大连续子序列和（4836: Can you answer on these queries III）

什么是最大子段和？顾名思义，在一个序列中，找到一段，将这一段元素相加使得结果最大．

其实可以通过递推来在O(n)的时间复杂度内求出结果，也就是判断一个数前面一个数能否对最大子段和作贡献．如果前面那个数＞０，那么就将它加到这一个数里，每次正在操作的数进行取max．但是这样不能在线查询（虽然这个题也不需要在线），所以我们用线段树的方法来维护每个区间的最大子段和．

线段树中记录几个变量：ls记录从区间左端点开始向右延伸能得到的最大子段和,rs记录从右端点开始向左延伸能得到的最大子段和,ss记录区间的最大子段和（不管是从区间中哪个位置开始）,sum记录区间和．

我们将正在合并的区间节点编号叫root,它的左端点为l,右端点为r

那在合并ls的时候只存在这样几种情况：
1. root左端点包含的最大子段的右端点延伸到了右儿子
1. root左端点包含的最大子段的右端点仍然在左儿子的范围内

合并rs也是同理．
然后考虑如何合并ss，root的包含的最大子段的左端点叫x,右端点叫y，那么只有这样几种情况：
1. x==l,mid+1<=y<r
1. x==l,y==r
1. l<x<=mid,mid+1<=y<r
1. l<x<=mid,y==r
1. l<x<y<=mid
1. mid+1<=x<y<=r

整理一下式子也就是这样：

ls[l,r]=max(ls[l,mid],sum[l,mid]+ls[mid+1,r])  ls[l,r]=max(ls[l,mid],sum[l,mid]+ls[mid+1,r])

rs[l,r]=max(rs[mid+1,r],sum[mid+1,r]+rs[l,mid])  rs[l,r]=max(rs[mid+1,r],sum[mid+1,r]+rs[l,mid])

ss[l,r]=max(ss[l,mid],ss[mid+1,r],ls[mid+1,r]+rs[l,mid+1])  ss[l,r]=max(ss[l,mid],ss[mid+1,r],ls[mid+1,r]+rs[l,mid+1])

那么我们直接对这些情况进行讨论，下面看代码注释

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int nil=-0x3fffffff;
const int maxn=(50000+10)<<2;
int a[50000+10];
struct my{
   int lmax,rmax,maxx,sum;
}tree[maxn];

void get(int rt){
     tree[rt].sum=tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].sum;
     tree[rt].lmax=max(tree[rt<<1].lmax,tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].lmax);
     tree[rt].rmax=max(tree[rt<<1|1].rmax,tree[rt<<1|1].sum+tree[rt<<1].rmax);
     tree[rt].maxx=max(max(tree[rt<<1].maxx,tree[rt<<1|1].maxx),tree[rt<<1|1].lmax+tree[rt<<1].rmax);
}

void build(int l,int r,int rt){
     if(l==r){
        tree[rt].sum=tree[rt].lmax=tree[rt].maxx=tree[rt].rmax=a[l];
        return ;
     }
     int mid=(l+r)>>1;
     build(l,mid,rt<<1);
     build(mid+1,r,rt<<1|1);
     get(rt);
}

void change(int L,int l,int r,int rt,int c){
    if(l==r){
        tree[rt].sum=tree[rt].lmax=tree[rt].maxx=tree[rt].rmax=c;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid) change(L,l,mid,rt<<1,c);
    else change(L,mid+1,r,rt<<1|1,c);
    get(rt);
}

my ask(int l,int r,int rt,int L,int R){
     if(l>=L&&r<=R){
        return tree[rt];
     }
     my a,b,c;
     a.lmax=a.maxx=a.rmax=a.sum=nil;
     b.lmax=b.maxx=b.rmax=b.sum=nil;
     c.sum=0;
     int mid=(l+r)>>1;
     if(L<=mid) {
            a=ask(l,mid,rt<<1,L,R);
            c.sum+=a.sum;
     }
     if(R>mid) {
            b=ask(mid+1,r,rt<<1|1,L,R);
            c.sum+=b.sum;
     }
    c.maxx=max(max(a.maxx,b.maxx),a.rmax+b.lmax);
    c.lmax=max(a.lmax,b.lmax+a.sum);
    c.rmax=max(b.rmax,b.sum+a.rmax);
    return c;
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    build(1,n,1);
    scanf("%d",&m);
    int op,l,r;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(op==1) printf("%d\n",ask(1,n,1,l,r).maxx);
        else change(l,1,n,1,r);
    }
return 0;
}