关于递归

递归是一个非常重要且常用的编程思想，尤其在树、图、动态规划等问题中非常有用。它的核心是：将问题分解为子问题，通过递归的方式解决更小的子问题，最终汇聚成整体的解答。

如果你对递归函数感到陌生，或者不确定如何编写一个递归函数，可以通过以下步骤逐步建立递归的理解和技巧。

递归的基本结构

递归函数通常有两个重要部分：

1. 递归的终止条件（Base case）：当遇到最简单的情况时，我们直接返回结果，不再进行递归。
2. 递归的递推关系（Recursive case）：将问题分解成一个或多个子问题，然后通过递归解决这些子问题，最后合并结果。

一般递归写法

递归函数的基本结构通常是这样的：

def recursive_function(arg1, arg2):
    # Base case: 递归终止条件
    if condition:
        return base_value
 
    # Recursive case: 递归调用，解决子问题
    result = recursive_function(sub_arg1, sub_arg2)
    
    # 处理返回结果
    return result

一步步学习递归

1. 从简单的递归函数开始

首先，从一些非常简单的递归问题入手，逐步理解递归的结构和思想。

例1：阶乘问题（n!）

阶乘的定义是：

• 0! = 1
• n! = n * (n - 1)!

递归函数的基本实现：

def factorial(n):
    # Base case: 0! = 1
    if n == 0:
        return 1
    # Recursive case: n! = n * (n-1)!
    return n * factorial(n - 1)

调用：

print(factorial(5))  # 输出: 120

2. 理解树的递归

在树的遍历中，递归是非常自然的。我们总是通过递归的方式遍历树的每个节点，直到叶子节点。比如，二叉树的前序遍历（根 -> 左 -> 右）就是一个典型的递归问题。

例2：二叉树的前序遍历

定义一个二叉树节点类：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

递归地遍历二叉树：

def preorder_traversal(root):
    # Base case: 如果节点为空，返回
    if root is None:
        return
    # 先访问当前节点
    print(root.val)
    # 然后递归访问左子树
    preorder_traversal(root.left)
    # 最后递归访问右子树
    preorder_traversal(root.right)

调用：

# 创建一个简单的二叉树
root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)
 
preorder_traversal(root)  # 输出: 1 2 4 5 3

3. 思考递归的终止条件和递推关系

递归中非常重要的一个点是理解递归的终止条件和递推关系。通常情况下，我们要思考如何把问题转化成更简单的子问题，并且如何在合适的时机停止递归。

例如在二叉树的题目中，通常递归的终止条件是当前节点为空（None），这样我们就不再继续递归。

4. 辅助思路：从叶子节点反向思考

在一些树的递归问题中，可以从叶子节点反向推导递归的执行。例如，在查找路径时，从目标节点开始，逐步推导回根节点，构建路径。

5. 如何调试递归函数？

递归函数的调试可以通过以下方式：

• 打印递归调用的过程：通过打印输入参数、返回值等，跟踪递归的过程。
• 画出递归树：在纸上画出递归的调用顺序，帮助理解递归的过程。
• 确保有终止条件：每个递归函数都必须有明确的终止条件，否则会导致栈溢出错误（Stack Overflow）。

递归的进阶

在你熟悉了简单的递归问题之后，可以逐步挑战更复杂的递归问题，如：

1. 二叉树的深度优先搜索（DFS）
2. 动态规划（DP）的递归式（如斐波那契数列）
3. 分治法问题（如归并排序、快速排序）
4. 回溯法（如求解排列、组合问题）

tip:

• 随着递归的进行，变量需要发生改变的，通常需要放到参数中
• 尽可能地减少递归的次数

结语

递归的关键在于：拆解问题并找到子问题。通过不断练习和调试，你会逐渐掌握递归的技巧和思维方式。初学时可以从最简单的递归问题开始，逐步扩展到更复杂的问题。随着实践的增多，你会越发熟悉递归的应用场景，并能够在刷题时更流畅地应用递归解决问题。