第三章——算法设计与分析

分治法

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

要求：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的

一般来说，分治算法在每一层递归上都有3个步骤：

分解；将原问题分解成一系列子问题。
求解；递归地求解各子问题。若子问题足够小，则直接求解
合并；将子问题的解合并成原问题的解。

分治法最重要的应用思想就是递归

递归就是在运行的过程中调用自己

c语言实现求阶乘：

函数递归带来的内存开销：S(n) = O(n)

空间复杂度 = 递归调用的深度

动态规划法—子问题不独立，区别于分治法，整体最优，区别于贪心

基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是独立的，

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解，每个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的那个解。当然，最优解可能会有多个，动态规划算法能找出其中的一个最优解。

对一个给定的问题，若其具有以下两个性质，则可以考虑用动态规划法来求解：

1、最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解，就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时，提示我们动态规划法可能会适用，但是此时贪心策略可能也是适用的。

2、重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时，就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解，则每次遇到子问题都会视为新问题，会极大地降低算法的效率，而动态规划法总是充分利用重叠子问题，对每个子问题仅计算一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。