Problem7:
By listing the first six prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, and 13, we can see that the 6th prime is 13.
What is the 10001st prime number?
问题7：
通过列出前六个素数: 2,3,5,7,11,13,我们可以知道第6个素数为13。
求第10001个素数？
方法一：
一个一个数判断是否为素数，知道第n个素数:
方法一
def f(n):
result=[2]
i=3
while len(result)<n:
for j in result:
if i%j==0:
break
elif j*j>i:
result.append(i)
break
i=i+2
return result[-1]
方法二：
方法一的缺点 很明显，速度比较慢。
求素数的比较快的方法为 筛法 ，不过筛法是用来求 小于某个数的所有素数的。我们要先知道第n个素数有多大，然后才能使用筛法。
根据素数定理，我们可以使用 n*ln(n)*1.2为界来求，对于n>50，都有第n个素数小于 n*ln(n)*1.2。
方法二
def sieve(n):
'''使用[0,1,2,...,((n-1)//2)-1]来表示[3,5,7,...,((n-1)//2)*2+1]'''
if n<2:
raise StopIteration
yield 2
if n>2:
k=[True for i in range((n-1)//2)]
for i in range((n-1)//2):
val=2*i+3
if val*val>n:
for j in range(i,(n-1)//2):
if k[j]:
yield 2*j+3
break
if k[i]:
yield val
for j in range(i+val,(n-1)//2,val):
k[j]=False
from math import log
def f2(n):
ps=list(sieve(int(n*log(n)*1.2)))
return ps[n-1]
方法三：
方法二需要判断上界，而且上界不一定有效，这是方法二的缺点。
我们对筛法进行改进。对数进行分段，使用筛法求出每一段的素数，直到我们得到第n个素数。
方法三
def f3(n):
if n==1:
return 2
else:
Step=1000
ps=list(sieve(2*Step+2))[1:]
##求第一个分段3- 2*Step+3的素数，然后去掉2。
if n-2<len(ps):
return ps[n-2]
else:
begin=3
k=[True for i in range(Step)]
while n-2>=len(ps):
begin+=2*Step
##使用[0,1,2,...,Step-1]来表示[begin,begin+2,...begin+2*Step-2]
end=2*Step+begin-2
for i in range(Step):
k[i]=True
for i in ps:
if i*i>end:
for j in range(Step):
if k[j]:
ps.append(2*j+begin)
break
NumModeI=((begin-1)//i)*i+i
##求出比 大于或等于begin的最小的能被i整除的整数
if NumModeI%2==0:
NumModeI+=i
for j in range((NumModeI-begin)//2,Step,i):
k[j]=False
return ps[n-2]
