[Project Euler]Problem 5

Problem 5:
　　2520 is the smallest number that can be divided by each of the numbers from 1 to 10 without any remainder.
　　What is the smallest positive number that is evenly divisible by all of the numbers from 1 to 20?

问题5：

　　2520是最小的能被1到10的所有的数整除的整数。
　　求最小的能被1到20的所有的数整除的整数。

方法一：

　　本题为求1到n的最小公倍数。
　　求多个数的最小公倍数，可以先求两个数的最小公倍数，再求所得到的值和剩下的数的最小公倍数。
　　求两个数的最小公倍数，可以用两个数的乘积除以两个数的最大公约数。
　　求两个数的最大公约数，可以用辗转相除法。

def GCD(x,y):
    if x>y:
        return fi(y,x)
    if x==0:
        return y
    return GCD(y%x,x)
def LCM(x,y):
    return (x*y)//GCD(x,y)
def f(x):
    a=1
    for i in range(2,x+1):
        a=LCM(a,i)
    return a

方法二：

　　求最小公倍数，还以将所有的数进行质因数分解，然后找到所有质因子的最大次幂，将他们相乘可以得到最小公倍数。
　　本题为求1到n的最小公倍数，因此不必将所有的数分解因子。
　　因为整数不可能有比他大的因子，所以所有质因子为1到20 的素数。
　　因为p^k+1>n所以任何有p^k+1为因子的数必大于n，又因为p^k<n,所以p^k是1到n中的一个整数。 
　　所以对于素数p，假设 p^k<=n<p^k+1则k为1到n的数进行质因数分解后p的最大次幂 。

from eulertools import primes
from math import log
from functools import reduce
def f2(n):
    return reduce(lambda x,y:x*y,(i**int(log(n,i)) for i in primes(n)))

　　可以使用筛法求素数

def primes(n):
    if n<2:
        raise StopIteration
    else:
        yield 2
        l=[True for i in range((n-1)//2)]
        for i in range(len(l)):
            if l[i]:
                yield 2*i+3
                for j in range(3*i+3,len(l),2*i+3):
                    l[j]=False