[Project Euler]Problem 2

Problem 2:

　　Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

问题2：

　　求斐波那契数列中不超过四百万的偶数的和。

方法一:

　　直接按题意写代码

def f1(limit):
    Fib=[1,2]
    while Fib[-2]+Fib[-1]<limit:
        Fib.append(Fib[-2]+Fib[-1])
    return sum(filter(lambda x:x%2==0,Fib))

方法二:

观察可知斐波那契数列 中的奇偶性为 奇偶奇、奇偶奇、奇偶奇,以3为周期循环:

　　证明 A₁=1,A₂=2,A_n=A_n-1+A_n-2 ,A_3n+2(n为整数)为偶数其他A_3n+1,A_3n+3(n为整数)为奇数.
　　A₁=1,A₂=2,A₃=A₁+A₂=3
　　可知 A_3n+2(n为整数)为偶数其他A_3n+1,A_3n+3(n为整数)为奇数 在n=0时成立.
　　当A_3n+2(n为整数)为偶数其他A_3n+1,A_3n+3(n为整数)为奇数 在n时成立
　　则 A_3(n+1)+1=A_3n+3+A_3n+2=奇数+偶数=奇数.
　　A_3(n+1)+2=A_3n+4+A_3n+3=奇数+奇数=偶数
　　A_3(n+1)+3=A_3n+5+A_3n+4=偶数+奇数=奇数
　　数学归纳法可知 A₁=1,A₂=2,A_n=A_n-1+A_n-2 ,A_3n+2(n为整数)为偶数其他A_3n+1,A_3n+3(n为整数)为奇数.

因此题目转化为求 斐波那契数列 中 小于四百万的3n+2项的和

　　A_n+3=A_n+2+A_n+1=(A_n+1+A_n)+A_n+1=2A_n+1+A_n 
　　A_n+6=2A_n+4+A_n+3=2(2A_n+2+A_n+1)+2A_n+1+A_n=4A_n+2+4A_n+1+A_n=4A_n+3+A_n 
　　A_3(n+2)+2=4A_3(n+1)+2+A_{3n+2 
　　令Bn=A3n+2 
则B0=2,B1=8,Bn=4*Bn-1+Bn-2} 

def f2(limit):
    B=[2,8]
    while B[-2]+4*B[-1]<limit:
        B.append(B[-2]+4*B[-1])
    return sum(B)