弦图与区间图

弦图与区间图-陈丹琦 ppt

弦图与区间图总结_DZYO

弦图 - OI Wiki 这部分 OI-Wiki 上写的很好，证明也很妙。

弦图

弦：指一个大于 $3$ 个点的环中，连接不相邻的两个点的边。非常形象。

弦图：指图中任意环均有弦。显然弦图的点导出子图也是弦图。

团：一个诱导子图满足对于子图内的点是完全图。非常形象。

单纯点：设 $N(v)$ 表示 $v$ 的邻域，一个点称为单纯点当且仅当 $v+N(v)$ 的导出子图为一个团。

引理：任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点。

完美消除序列：一个点的序列 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ 满足 $v_i$ 在 $\{v_i,v_{i+1},\cdots,v_k\}$ 的导出子图中为一个单纯点。

定理：一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。

记

$\omega(G)$ 为最大团的点集大小，称为团数。

$\chi(G)$ 为最小染色的色数，称为色数。

$\alpha(G)$ 为最大独立集的大小。

$\kappa(G)$ 为最小团覆盖的团的数量。

$\omega(G)\le \chi(G)$，因为最大团中颜色必须互不相同。

$\alpha(G)\le\kappa(G)$，因为每个团中最多取一个点。

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弦图的判定

MCS 算法

最大势算法 $Maximum\ Cardinality\ Search$，可以在 $O(n+m)$ 的时间内求出无向图的完美消除序列。

逆序从 $n$ 到 $1$ 把节点编号，编号为 $i$ 的点出现在完美消除序列的第 $i$ 个。

设 $label_x$ 表示 $x$ 与多少个已经标号的点相邻，每次选择 $label$ 最大的未标号节点进行标号。

实现可以用链表维护对于每个 $i$，满足 $label_x=i$ 的 $x$。

每条边对 $\sum\limits_{i=1}^n label_i$ 的贡献最多是 $2$，时间复杂度为 $O(n+m)$。

非弦图时要判断每个点是否与后面相邻的点构成团，设 $v_{j1}\cdots v_{jk}$ 是 $i$ 连向后面的点。继承后面点的判断后，算法只需判断 $v_{j1}$ 是否与其他 $v_{j}$ 都相连即可。时间复杂度 $O(n+m)$。

于是我们可以在 $O(n+m)$ 的时间复杂度内判断图是否是弦图并求出它的完美消除序列。

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证明

只需证明求得序列中任意一点的后面与它相连的点两两相连。

设 $p_i$ 为 $i$ 在序列中的位置。

引理一：考虑三个点 $u,v,w$ 且 $p_u<p_v<p_w$，如果 $uw$ 相连，$vw$ 不相连，则 $w$ 只给 $u$ 的 $label$ 贡献。为了让 $v$ 比 $u$ 先入序列，需要一个 $x$ 满足 $p_v<p_x$ 且 $vx$ 相连，$ux$ 不相连。

引理二：任意一个弦图一定不存在一个序列 $v_0,v_1,\cdots,v_k(k\le 2)$ 满足下列性质

• $v_iv_j$ 相连当且仅当 $|i-j|=1$。
• $p_{v_0}>p_{v_i}(i\in [1,k])$。
• 存在 $i\in[1,k-1]$，满足 $p_{v_i}<p_{v_{i+1}}<\cdots<p_{v_{k}}$ 且 $p_{v_i}<p_{v_{i-1}}<\cdots<p_{v_1}<p_{v_{k}}<p_{v_0}$。

证明引理：

由于 $p_{v1}<p_{v_k}<p_{v_0}$，且 $v_1v_0$ 相连，$v_kv_0$ 不相连，所以由引理一，存在 $x$ 满足 $p_{v_k}<p_x$ 且 $v_kx$ 相连，$v_1x$ 不相连。

考虑最小的 $j\in (1,k]$ 满足 $v_jx$ 相连，那么 $v_0x$ 不相连，否则 $v_0v_1\cdots v_jx$ 构成长度大于 $4$ 且无弦的环。

如果 $p_x<p_{v_0}$，则 $v_0,v_1,\cdots,v_j,x$ 是满足性质的序列；如果 $p_{v_0}<p_x$ 则 $x,v_j,\cdots,v_1,v_0$ 是满足性质的序列。

在上面的推导中，我们扩大了 $p_{v_k}$，于是一直推下去，一定在第一步找不到 $p_x>p_{v_k}$，产生矛盾。

证明原命题：

考虑三个点 $u,v,w$ 且 $p_u<p_v<p_w$，我们需要证明若 $uv$ 相连，$uw$ 相连，则 $vw$ 一定相连。

反证，假设不相连，那么 $w,u,v$ 就满足引理二中的性质，所以矛盾。

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弦图的极大团

设 $i$ 在弦图的完美消除序列中第 $p_i$ 个。令 $N(v)=\{w|p_w>p_v且w与v相连\}$。

定理：弦图的极大团一定是 $v\cup N(v)$ 的形式。

证明：设 $v$ 为极大团 $V$ 中 $p$ 最小的点，那么 $V\sube v\cup N(v)$，又 $V$ 极大，得证。

推论：弦图最多有 $n$ 个极大团。

要求出最多 $n$ 个极大团，可以判断每个 $x+N(x)$ 是否是极大团。

设 $A=x+N(x),B=y+N(y)$，若 $A\sub B$，则 $A$ 不是极大团。此时显然 $p_y<p_x$。

那么设 $nxt_x$ 表示 $N(x)$ 中最靠前的点，$y'$ 表示所有满足 $A\sub B$ 的 $y$ 中最靠后的点。此时必有 $nxt_{y'}=x$，否则 $y'$ 不是最靠后的，令 $y'=nxt_{y'}$ 仍满足。

$A\sub B$ 当且仅当 $|A|+1\le |B|$。

判断不是极大团转化为判断是否存在 $y$，满足 $p_y<p_x,nxt_y=x$ 且 $|N(x)|+1\le |N(y)|$，时间复杂度 $O(n+m)$。实现参考 OI-Wiki。

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弦图的团数或色数

团数 $\omega(G)$，最大团的点集大小。

色数 $\chi(G)$，相邻点不同色的最小颜色数。

定理：$\omega(G)=\chi(G)$。

一种构造方式：按完美消除序列从后往前依次给每个点染色，给每个点染上可以染的最小颜色，因为一个点只需要考虑在它后面的相连点的颜色。

设染色共用 $t$ 种，那么该过程中 $t\ge \chi(G)$ 而 $t=\omega(G)$，又因为每个团内点颜色互不相同所以 $\chi(G)\ge \omega(G)$ 所以 $t=\chi(G)=\omega(G)$。

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弦图的最大独立集或最小团覆盖

最大独立集 $\alpha(G)$，选出两两不相邻的点的最大点集。

最小团覆盖 $\kappa(G)$，用团覆盖整张图的最小团数。

定理：$\alpha(G)=\kappa(G)$。

构造最大独立集的方式：完美消除序列从前往后能选就选。

设最大独立集为 ${v_1,v_2,\cdots,v_t}$，则团的集合 $\{\{v_1+N(v_1)\},\{v_2+N(v_2)\},\cdots,\{v_t+N(v_t)\} \}$ 是图的最小团覆盖。

因为若没有覆盖完那么剩下的点是独立点，与最大独立集矛盾。

而 $t\le \alpha(G),t\ge\kappa(G)$，又因为每个团里都能选一个所以 $\kappa(G)\ge \alpha(G)$，所以 $\alpha(G)=\kappa(G)$。

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完美图

完美图：一个图 $G$ 的每一个诱导子图（点导出子图）都满足 $\omega(G)=\chi(G)$。

伴完美图：一个图 $G$ 的每一个诱导子图（点导出子图）都满足 $\alpha(G)=\kappa(G)$。

完美图等价于伴完美图。

弦图属于完美图。

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区间图

给定一些区间，定义一个相交图为每个顶点表示一个区间，两个点有边当且仅当两个区间的交集非空。

一个点为区间图当且仅当它是若干个区间图的相交图。

性质

区间图一定是弦图，显然不存在长度大于 $3$ 的无弦环。于是区间图具有弦图的一切性质。

区间图的一个完美消除序列是将所有区间按照右端点从小到大排序。显然右边所有与当前区间有交的区间之间都相交。

应用

• 给定 $n$ 个区间，要求选择最多区间而不互相重叠。

  • 区间图的最大独立集。

• 有 $n$ 个高为 $1$，宽为 $[L_i,R_i]$ 的积木，求一个下落顺序使最后积木总高度最小。

  • 把一层积木看成一个颜色，转化为区间图的色数问题。