hall定理相关

匹配：就是在图上找到端点不交的边集。

最大匹配：能够覆盖的点集最大。

完备匹配：能够覆盖某侧所有点。完备匹配一定是最大匹配，最大匹配不一定是完备匹配。

完美匹配：能够覆盖所有点。完美匹配一定是完备匹配，完备匹配不一定是完美匹配。

hall 定理

对于一个二分图 $G(V1,V2,E)$ 钦定 $|V1|\le|V2|$，对于 $\forall X\subseteq V1$，定义 $N(X)=\{v_j|(v_i,v_j)\in E,v_i\in X,v_j\in V2\}$。

其存在 $V1$ 的完备匹配的充要条件为 $\forall X\subseteq V1,|X|\le |N(X)|$。

简单的说，就是 $V1$ 的任意子集 $X$ 向 $V2$ 连边，连到的所有点形成的集合 $N(X)$ 的大小大于等于 $X$ 的大小。

考虑数学归纳法证明。

对 $V1$ 大小为 $n$。假设任取大小为 $k<n$ 的子集 $X$，满足 $N(X)\ge k+1$，那么去除任意一对匹配后，剩下的点只要满足 hall 定理，就可以根据 $n-1$ 说明 $n$ 时满足 hall 定律。而这是显然的，因为较劣的情况是 $V1$ 的大小不变而 $V2$ 可连集合大小减一，这仍然满足 hall 定理。

假设存在大小为 $k$ 的子集 $X$，满足 $N(X)=k$，那么将这 $k$ 对匹配去掉后，剩下的点也满足 hall 定理，和上面类似。

扩展1

二分图最大匹配大小为 $n-a$ 当且仅当任意 $X$ 满足 $|X|-a\le |N(X)|$。数学归纳法证明和上面类似。

也就是说，一张二分图的最大匹配大小为 $n+min(|N(X)|-|X|)$。

扩展2

要求每个点向右连 $a_i$ 个匹配(?)，当且仅当任意 $X$ 满足 $\sum\limits_{i\in X}a_i\le |N(X)|$。把左边每个点拆成 $a$ 个即可。

应用时总是需要建模技巧。

例题的难度大概是递减

---

例题hdu 5503

$n$ 个队伍两两比赛，胜者加 $1$ 分。给出最终的得分序列，问这样的得分序列是否可能存在。

每个队伍需要得 $a_i$ 分，而每个比赛可以给两个队伍中一个加 $1$ 分，先判断总数是否合法。

可以看作一张二分图，每个队伍向比赛连边，队伍最多连 $a$ 条，比赛最多连两条，判断是否存在完美匹配。这就是上文中提到的扩展 2 的情况，我们将每个队伍拆成 $a$ 个点后对比赛用 hall 定理，于是对于任意 $\dbinom k2$ 个比赛，对应左边的 $k$ 个队伍，则 $\sum\limits_{i\in k} a_i\ge \dbinom k2$，只需把 $a_i$ 排序选最小的 check。

其实有时会让人想到 2-set，2-set 需要把每个位置对另一个位置的可选状态都看作点，即使有优化建图的方法，过多的点数和边数仍是 2-set 的瓶颈。

---

例题BZOJ3693 圆桌会议

$n$ 组人在长为 $m$ 的环上开会，每组有 $a_i$ 个人需要安排到 $[l_i,r_i]$ 上，问是否存在完备匹配。$n\le 10^5,m\le 10^9$。

环上先考虑链。对每组用 hall 定理，考虑到区间不相邻的两组合并考虑对判断无影响，所以相当于只需考虑所有有交的区间并。再反向考虑（hall 定理仍然正向使用），只需对任意 $[L,R]$，满足所有被 $[L,R]$ 完全包含的 $[l_i,r_i]$ 的 $\sum a_i\le R-L+1$。

由于 $L,R$ 只会出现在 $l,r$ 中，于是 $\sum a_i+L-1\le R$ 只需枚举 $R_i$ 并对 $L\in [1,R_i)$ 求 $\sum a+L-1$ 的最大值，再用 $+a_i$ 更新 $L\in[1,L_i]$ 即可。

对于环，拆环为链，但有一个不容易注意到的问题。就是当 $r=l-1$ 时，它本来应该包含所有区间，但如果某个 $L,R$ 满足 $L\le l,R\ge r$，那么这个 $(L,R)$ 和复制的 $(L+m,R+m)$ 都没有计算成被包含。所以对于整个区间需要特判。

---

例题「2017 山东一轮集训 Day2」Pair

这个更适合入门？

所有 $a_i$ 向 $b_i\ge h-a_i$ 连边，判断完美匹配。发现把 $b$ 排序后 $a$ 连的是一段后缀，所以我们只需要判断 $b_1$ 连了大于等于 $1$ 条，$\cdots b_{m-1}$ 连了大于等于 $m-1$ 条，$b_m$ 连了大于等于 $m$ 条。

那么我们可以给 $b_1\cdots,b_m$ 赋初值 $-1\cdots,-m$，然后每次区间加减并判断最小值的正负即可。

---