Prufer序列
一棵大小为 \(n\) 的有标号无根树对应一个长度为 \(n-2\) 值域为 \([1,n]\) 的 Prufer 序列。
故有 Cayley 公式：\(n\) 个点的完全无向图的生成树有 \(n^{n-2}\) 种。
然后是转换：
树到序列
- 找到当前树中编号最小的叶子节点，将其父亲节点编号加入序列，并删除该节点。
- 如果父亲节点度数变为 \(1\)，将父亲节点当作叶子节点加入待删队列。
- 重复 1 2 操作直到原树只剩下两个点。
注意到最后 \(n\) 节点一定会保留下来，所以对于无根树的父亲节点可以以 \(n\) 为根做一遍 dfs 得到。
于是显然可以 \(O(n\log n)\) 做。
线性做法是利用了每次删节点最多只会新增一个叶子节点的性质，维护一个指针指向下一个要删的叶子节点。
每次删掉节点后看父亲节点是否变成叶子节点，如果父亲变成了编号小于指针的叶子，那么直接把父亲当作下一个叶子，但指针不动；否则就让指针自增到下一个叶子。
这样指针只会扫一遍，所有边只会遍历一遍，所以是 \(O(n)\)。
序列到树
根据树到序列的构造，我们发现每个度数为 \(d\) 的节点都在 Prufer 序列中出现了 \(d-1\) 次。
同样的，我们可以利用这个性质实现序列到树。
- 找到序列中没有出现过的点（叶子节点）中编号最小的，序列第 \(i\) 项即为其父亲，然后删除该叶子节点。
- 如果父亲节点度数变为 \(1\)，将父亲节点当作叶子节点加入待删队列。
- 每次 \(i\) 增加并重复 1 2 操作直到序列结束，此时待删序列中有两个点，将编号小的父亲令为 \(n\)（也就是另一个编号大的）。
同样有显然的 \(O(n\log n)\) 做法。
线性做法是一样。
Prufer 序列通常与有度数限制的计树有关，会用到组合数学。
