无用小寄巧

当题目中有直角坐标系并且有上下左右移动的限制时，由于 $x$ 移动时 $y$ 不能动，导致 $x$ 和 $y$ 有限制不方便我们处理，可以将坐标系逆时针旋转 $45$ 度，再放大 $\sqrt{2}$ 倍，具体操作就是把所有点 $(x,y)$ 的坐标变为 $(x+y,y-x)$，上下左右就分别变成了 $(1,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1)$ 这样就可以把 $x$ 和 $y$ 分开单独处理。

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如果给出了坐标系上 $x$ 和 $y$ 的范围，并且所有点都在整点上，那么可以将行和列作为点，对应位置的点就变成了行和列之间的连边，并且此时的图是一张二分图

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$$E(x)=\sum_{i\geq1}p_i*i$$

$$E(x)=\sum_{i\geq1}p_i\sum_{j\leq i}1=\sum_{j\geq1}\sum_{i\geq j}p_i$$

概率的计算从等于变成了大于等于

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判断矩乘结果是否等于另一个矩阵，可以随一个向量左乘在式子上，最后判断两个向量是否相等，多做几次大概率就能确定了。这样就从 $n^3$ 的矩阵乘矩阵变成了 $n^2$ 的向量乘矩阵。
例题 应用
点乘的式子很像矩阵乘法里一项的计算，于是发现我们其实是在判断在模 $k$ 意义下，$A=\{\vec a,\vec b,\cdots\}$，$A^T$ 为 $A$ 的转置矩阵，$A\times A^{T}$ 的对角线以外是否有 $0$。

如果 $k=2$，其实就是判断两个向量相乘是否等于另一个对角线上值可以 $O(nd)$ 算，其他值都为 $1$ 的矩阵。狂暴随机几次就可以 $O(nd)$ 解决。

如果 $k=3$，那么第三个矩阵可能有 $1$ 或 $2$，但是我们发现 $1^2\equiv 2^2\equiv 1\pmod 3$，所以我们把两边的式子都做一次点乘的平方再随机化。
此时右边很好搞，问题是左边。
左边最终向量的第 $x$ 项为

$$\sum_{i=1}^n rd_i(\sum_{j=1}^dA_{i,j}A_{j,x}^T)^2$$

把二次狂暴展开就可以变成

$$\sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^dA_{x,j}A_{x,k}\sum_{i=1}^nrd_iA_{i,j}A_{i,k}$$

然后右边预处理一下就可以 $O(nd^2)$ 解决。