组合式子
记录一下遇到过的组合式子
\(\binom n m=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}m\)
\(\sum\limits_{i=0}^n a^i b^{n-i}\binom ni=(a+b)^n\)
对任意正整数 \(x\)，\(\sum\limits_{i=1}^{n}\binom i x=\binom {n+1}{x+1}\)。考虑枚举最后一个被选的位置。from CF1548C
\(k\times \binom nk=n\times \binom {n-1}{k-1}\) from P6620
\(j^i\binom nj=\sum\limits_{k=1}^i S(i,k)\times n^{\underline{k}}\times\binom{n-k}{j-k}\)。\(S(i,k)\) 递推式为 \(S(i,k)=S(i-1,k-1)+i\times S(i-1,k)\) from P6620
卡特兰数
\[1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862\cdots
\]
\[f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]\cdot f[n-1-i]=f[n-1]\times \dfrac{4n-2}{n+1}=\binom{2n}n-\binom{2n}{n+1}=\dfrac{\binom{2n}n}{n+1}
\]
范德蒙德卷积
\[\binom{n+m}k=\sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}
\]
在两堆 \(n\) 和 \(m\) 里选 \(k\) 个，枚举一堆里选的。
根据 \(\binom m k=\binom m{m-k}\) 可以导出来一堆感觉有用的结论：
\[\binom{n+m}m=\sum_{i=0}^m\binom ni\binom mi\\
\binom{2n}{n+1}=\sum_{i=0}^{n+1}\binom ni\binom n{i-1}\\
\binom{2n}n=\sum_{i=0}^n\binom ni ^2\\
\vdots
\]
