2022寒假刷题计划（2）

因为上一篇博客园渲染变卡了

2.4

P3258 [JLOI2014]松鼠的新家

简单地差分一下dfs统计就好了。

P4041 [AHOI2014/JSOI2014]奇怪的计算器

比较有意思的题。如果把所有 $x$ 排序一起全体操作会发现，这些操作不会改变 $x$ 之间的相对大小关系，同时也就有，每次操作后可能会超过值域范围限制的是左右的某两个区间。所以我们发现只要对 $x$ 排序后维护区间操作。
具体地，我们需要维护区间最大值和区间最小值，用于判断值域范围限制和求最终单点答案。
同时我们需要支持的操作有区间加，区间乘，区间加特殊值（操作4），以及区间覆盖（值域限制）。
现在我们维护一个特殊的函数 $f(k1,k2,k3)$，也就是区间维护三个 lazy tag，$x=x\times k1+a[t]\times k2+k3$（其中的 $a[t]$ 是以 $a[l]$ 和 $a[r]$ 对应 $minn$ 和 $maxn$ 的修改。）这个函数支持我们上述四种操作。
区间加就是 $f(1,0,a)$，区间乘就是 $f(a,0,0)$，区间加特殊值就是 $f(1,a,0)$，区间覆盖就是 $f(0,0,a)$。
然后下传标记时注意下儿子标记的变化，以及注意把没有打 lazy tag 的 $k1,k2,k3$ 分别令为 $1,0,0$ 可以避免一些不必要的麻烦。

2.5

P6628 [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路

对我有点启发。
我们发现满足条件的路径其实是一条类似欧拉路的东西，也就是说除了起点和终点的度数是奇数，中间经过的点度数为偶数。
我们考虑先把所有必经的边都处理了，把必经边连接的点度数加上，这些必经边距离是一定在答案里的。（我们可以先处理必经边再枚举终点。）
然后发现连完可能不满足上述度数要求，所以我们考虑贪心地选择相邻的两个奇点连接，这样把所有奇点都变成偶点（对于起点和终点可以先把度数++），然后考虑到路径的连通性，我们把一条 $x\rightarrow y$ 的路径拆成 $x\rightarrow x+1\rightarrow x+2\rightarrow\cdots\rightarrow y$，这样路径长度不会改变，同时中间节点的奇偶性也不变，但连接了更多的点，让路径的连通性更好，具体操作可以从小到大枚举，遇到奇点就连接自己和下一个点。
这样做可以把所有点的度数按要求调整好，并且花费最小。但是即使像上面一样拆边操作完我们的路径仍然可能不连通，所以我们现在要把许多连通块连接，一个显然的想法是求出两两连通块之间的距离求最小生成树，然后为了保证节点度数要求这棵树要来回走，答案就要加上最小生成树大小的两倍。
但是这样的边数是 $n^2$ 的，并不优。我们联想到上面的拆链做法，其实两个连通块的距离可以拆成他们与中间某个连通块距离之和，所以我们需要处理的边就是相邻不同连通块的距离，边数变成了 $n$。这样我们的复杂度就是 $O(n^2\log n)$ 了。

关于这种做法的正确性，因为这种神秘做法不是很好证明最优，所以我自己随便口胡了一会。
应该是把整个路径求解的过程变成两部分，一是满足路径的度数要求，二是满足路径的连通性。
然后前面修改度数的做法是贪心做的，第一部分是局部最优的，然后再满足路径度数的基础上，满足路径连通性的做法是最小生成树，也是局部最优的，两者都是局部最优，所以整个做法是最优的。

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2.6

P6625 [省选联考 2020 B 卷] 卡牌游戏

因为每次加的分数都是一个前缀和，并且随时可以停止，所以我们只要贪心地把 $2$ 以后的所有前缀和大于 $0$ 的加起来。

P6627 [省选联考 2020 B 卷] 幸运数字

发现可以离散化后按值域建一颗线段树，只需要维护区间异或的操作。
但是离散化的数不能只是给出的 $L,R,A,B$ 因为有可能会需要避开某个异或区间的存在，所以要把区间左右边界加入。特别地，需要把 $0$ 加入离散化数组，因为当一个答案区间包括 $0$ 时，$0$ 就是答案，否则这个区间的边界一定已经被加入离散化数组。
区间异或的操作只需要维护一个 lazy tag，下传到单点的时候就是异或出来的数。

P6626 [省选联考 2020 B 卷] 消息传递

求的是树上与 $x$ 点距离为 $k$ 的点的数量，发现有点像统计路径数量。

先把询问离线到每个点上，然后做点分治，遍历子树的时候只需要维护每个点的深度和每个深度的点的数量 $num$，先对根节点算答案，然后枚举子树，把子树对 $num$ 的影响除掉再进去算子树内节点的答案，算完再加回来。注意这里清空 $num$ 的时候应该递归进去清而不能 memset，会 T 飞（

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2.7

P2120 [ZJOI2007]仓库建设
题解

P3648 [APIO2014]序列分割
首先要看出切割的顺序和最后答案无关，也就是 $(a+b)\times c+a\times b=a\times (b+c)+b\times c$。一样是斜优dp，设 $dp[i][k]$ 表示已经分出了 $k$ 块，以 $i$ 为新的分割点时的最大得分，有
$dp[i][k]=\max\{dp[j][k-1]+(S[n]-S[i])\times (S[i]-S[j])\}$，那么
$S[n]\times S[j]-dp[j][k-1]=S[i]\times S[j]+(-dp[i][k]+S[n]\times S[i]-S[i]\times S[i])$，循环 $k$ 次，每次用上一层的 $dp$ 建下凸包，维护决策点，注意决策点有下限，因为已经分出 $k$ 块时，前 $k$ 个位置不可能再成为决策点。
因为只用到两层，可以滚动数组优化空间。
为了输出路径需要把每层每个位置的决策点记下来。
斜优 $define$ 的时候一定要记得打括号（

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2.8