[简单思维题]2的幂数

题目描述

小明开始学习二进制转化到十进制，其中要用到2的幂（2的3次幂就是3个2相乘），他觉得这个很有意思。既然通过2的幂相加可以得到十位数，那么反过来，一个十进制数是否可以通过若干个2的幂相加得到呢？
小明开始研究起来，他先列出了所有2的幂：1,2,4,8,16,32,64……。
4=1+1+1+1
4=1+1+2
4=2+2
4=4                 4共有4种方法
7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+2
7= 1+1+1+2+2
7=1+1+1+4
7=1+2+2+2
7= 1+2+4       
共有6种方法。1+2+4和2+1+4认为是同一个等式，因为它们的组成相同。
现在小明想要知道，给出一个十进制数，可以写出多少种，用若干个2的幂数相加的式子。

 

输入

第一行包含1个正整数n， 1<=n<=1000。

输出

共1行，n能用2的幂数相加的不同式子的种数。

样例输入

7

样例输出

6

这是一道简单思维题。
通过手算我们可以发现规律：（这里f[n]表示“n能用2的幂数相加的不同式子的种数”）

思路：

1.如果n是奇数，则f[n]=f[n-1]（一定要分个1出来，所以它的结果就等于偶数n-1的结果）
2.如果n是偶数，则考虑将它拆分为带1和不带1两种情况：
（1）带1：这种情况下种数为f[n-1]（也就是奇数n-1的结果）
（2）不带1：这种情况下种数为f[n/2]（很巧妙，分出来不带1的情况下肯定分出来的数每个都是偶数，这种情况下的种数可以等价于n/2的种数，因为把分出来的数都除以2不就是n/2分出来的数吗？）
综上：有递推公式：n为奇时，f[n]=f[n-1]；
                  n为偶时，f[n]=f[n-1]+f[n/2]；
此外，还要注意n==1时，直接初始化f[1]=1；

AC代码：

#include<cstdio>
int f[1010];
 
int main(){
   int n;
   scanf("%d",&n);
   f[1]=1;
   for(int i=2;i<=n;i++){
    if(i%2!=0) f[i]=f[i-1];
    else f[i]=f[i-1]+f[i/2];
   }
   printf("%d\n",f[n]);
   return 0;
}

 

总结：可以考虑利用小的已知结果的n递推求出大的n的结果，关键是要找出递推公式。