[组合数学]Yes or No

原文链接

https://blog.csdn.net/wxh010910/article/details/77752687

题意

有\(n+m\)个询问，其中\(n\)个是YES，\(m\)个是NO，你回答一个问题之后会知道这个问题的答案，求最优策略下你期望对多少个。

题解

显然最优策略是回答多的那个。
不妨设\(n \geq m\)，将正确答案画在二维平面上，发现是\((n,m)\)到\((0,0)\)的一条路径。
画一条对角线\(y=x\)，我们发现如果路径不经过对角线那么答案就是\(n\)。
我们考虑计算答案的增量，发现在对角线处才会贡献有\(\frac{1}{2}\)的概率贡献\(1\)的增量，所以答案是
\(n+\frac{\sum^{m}_{i=1}{2i \choose i}{n+m-2i \choose n-i}}{2{n+m \choose n}}\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;

ll f[1000005],invf[1000005];

ll qpow(ll a,ll b){
  ll ret=1;
  while(b){
    if(b&1) ret=ret*a%mod;
    a=a*a%mod;
    b>>=1;
  }
  return ret;
}

void init(ll n=1000000){
  f[0]=1;
  for(ll i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*i%mod;
  invf[n]=qpow(f[n],mod-2);
  for(ll i=n-1;i>=0;i--) invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mod;
}

ll C(ll n,ll m){//O(1)
  if(m>n||m<0) return 0; if(m==n||m==0) return 1;
  return f[n]*invf[m]%mod*invf[n-m]%mod;
}

int main()
{
    init();
    ll n,m;scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n<m) swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        ans=(ans+invf[2]*C(i+i,i)%mod*C(n-i+m-i,n-i)%mod)%mod;
    }
    ans=ans*qpow(C(n+m,n),mod-2)%mod;
    ans=(ans+n)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}