几种常见的损失函数

1. 损失函数、代价函数与目标函数

  损失函数（Loss Function）：是定义在单个样本上的，是指一个样本的误差。
  代价函数（Cost Function）：是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是所有损失函数值的平均。
  目标函数（Object Function）：是指最终需要优化的函数，一般来说是经验风险+结构风险，也就是（代价函数+正则化项）。

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2. 常用的损失函数

  这一节转载自博客

（1）0-1损失函数（0-1 loss function）

\[L(y, f(x)) = \begin{cases} 1, & {y \neq f(x) } \\ 0, & {y = f(x)} \end{cases} \]

  也就是说，当预测错误时，损失函数为1，当预测正确时，损失函数值为0。该损失函数不考虑预测值和真实值的误差程度。只要错误，就是1。

（2）平方损失函数（quadratic loss function）

\[L(y, f(x)) = (y - f(x))^2 \]

  是指预测值与实际值差的平方。

（3）绝对值损失函数（absolute loss function）

\[L(y, f(x)) = | y -f(x) | \]

  该损失函数的意义和上面差不多，只不过是取了绝对值而不是求绝对值，差距不会被平方放大。

（4）对数损失函数（logarithmic loss function）

\[L(y, p(y|x)) = - \log p(y|x) \]

  这个损失函数就比较难理解了。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。

（5）Hinge loss

  Hinge loss一般分类算法中的损失函数，尤其是SVM，其定义为：

\[L(w,b) = max \{0, 1-yf(x) \} \]

  其中 $ y = +1 或 y = -1 $ ，$ f(x) = wx+b $ ，当为SVM的线性核时。

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3. 常用的代价函数

（1）均方误差（Mean Squared Error）

\[MSE = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (y^{(i)} - f(x^{(i)}))^2 \]

  均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值; MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。（ $ i $ 表示第 $ i $ 个样本，$ N $ 表示样本总数）
  通常用来做回归问题的代价函数。

（2）均方根误差

\[RMSE = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (y^{(i)} - f(x^{(i)}))^2 } \]

  均方根误差是均方误差的算术平方根，能够直观观测预测值与实际值的离散程度。
  通常用来作为回归算法的性能指标。

（3）平均绝对误差（Mean Absolute Error）

\[MAE = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N |y^{(i)} - f(x^{(i)})| \]

  平均绝对误差是绝对误差的平均值 ，平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况。
  通常用来作为回归算法的性能指标。

（4）交叉熵代价函数（Cross Entry）

\[H(p,q) = - \sum_{i=1}^{N} p(x^{(i)}) \log {q(x^{(-i)})} \]

  交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况，减少交叉熵损失就是在提高模型的预测准确率。其中 $ p(x) $ 是指真实分布的概率， q(x) 是模型通过数据计算出来的概率估计。
  比如对于二分类模型的交叉熵代价函数（可参考逻辑回归一节）：

\[L(w,b) = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y^{(i)} \log {f(x^{(i)})} + ( 1- y^{(i)}) \log {(1- f(x^{(i)})})) \]

  其中 $ f(x) $ 可以是sigmoid函数。或深度学习中的其它激活函数。而 $ y^{(i)} \in { 0,1 } $ 。
  通常用做分类问题的代价函数。

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引用及参考：
[1] https://blog.csdn.net/reallocing1/article/details/56292877
[2] https://blog.csdn.net/m_buddy/article/details/80224409
[3] https://blog.csdn.net/chaipp0607/article/details/76037351
[4] https://blog.csdn.net/shenxiaoming77/article/details/51614601

写在最后：本文参考以上资料进行整合与总结，文章中可能出现理解不当的地方，若有所见解或异议可在下方评论，谢谢！
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