《剑指offer》---跳台阶问题
本文算法使用python3实现
1. 问题1
1.1 题目描述:
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
时间限制:1s;空间限制:32768K
1.2 思路描述:
(1)当 $ n=0 $ 时,返回0
(2)当 $ n=1 $ 时,只有一种跳法:跳1级台阶。
(3)当 $ n=2 $ 时,有两种跳法:(a) 跳1级再跳1级;(b) 直接跳2级。
(4)当 $ n=3 $ 时,我们只考虑最后一步的情况:(a)当最后一步只跳1级时, $ f(3)=f(3-1) $ ;(b)当最后一步直接跳2级时, $ f(3)=f(3-2) $ 。因此 $ f(3)=f(3-1) + f(3-2) $
(5)以此类推,当 $ n=N $ 时,只需考虑最后一步的情况即可:(a)当最后一步只跳1级时, $ f(N)=f(N-1) $ ;(b)当最后一步直接跳2级时, $ f(N)=f(N-2) $ 。因此 $ f(N)=f(N-1) + f(N-2) $
1.3 程序代码:
class Solution:
# def jumpFloor(self, number):
# '''递归:提交代码超时了'''
# if number in [0, 1, 2]:
# return number
# return self.jumpFloor(number-1)+self.jumpFloor(number-2)
def jumpFloor(self, number):
'''迭代'''
floor = []
for i in range(number+1):
if i in [0,1,2]:
floor.append(i)
continue
floor.append(floor[i-1]+floor[i-2])
return floor[-1]
2. 问题2
2.1 题目描述:
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法
时间限制:1s;空间限制:32768K
2.2 思路描述:
(1)当 $ n=0 $ 时,返回0
(2)当 $ n=1 $ 时,只有一种跳法:跳1级台阶。
(3)当 $ n=2 $ 时,有两种跳法:(a) 跳1级再跳1级;(b) 直接跳2级。
(4)当 $ n=3 $ 时,我们只考虑最后一步的情况:(a)当最后一步只跳1级时, $ f(3)=f(3-1) $ ;(b)当最后一步直接跳2级时, $ f(3)=f(3-2) $ ;(c) 当最后一步直接跳3级时, $ f(3) = 1 $ 。因此 $ f(3)=f(3-1) + f(3-2) +1 $
(5)以此类推,当 $ n=N $ 时,只需考虑最后一步的情况即可:(a)当最后一步只跳1级时, $ f(N)=f(N-1) $ ;(b)当最后一步直接跳2级时, $ f(N)=f(N-2) $ ;(c) 当最后一步直接跳3级时, $ f(N) = f(N-3) $;...;(n)当最后一步直接跳N级时, $ f(N) = 1 $ 。因此 $ f(N) = f(N-1)+f(N-2)+f(N-3)+...+f(1)+1 $
2.3 程序代码:
class Solution:
def jumpFloorII(self, number):
'''迭代法,保存n次结果'''
floor = []
for i in range(number+1):
if i in [0,1,2]:
floor.append(i)
continue
step = 0
for k in range(i):
step += floor[k]
floor.append(step+1)
return floor[-1]
# def jumpFloorII(self, number):
# '''递归法:当number很大时,递归很深,会超时'''
# if number in [0,1,2]:
# return number
# res = 0
# for k in range(number):
# res += self.jumpFloorII(k)
# return res+1
3. 问题3
3.1 题目描述:
我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?
时间限制:1s;空间限制:32768K
3.2 思路描述:
(1)当 $ n=0 $ 时,返回0
(2)当 $ n=1 $ 时,只有一种覆盖方法,即竖着覆盖。
(3)当 $ n=2 $ 时,有两种覆盖方法:使用两个 $ 2\times1 $ 的小矩形,横着覆盖与竖着覆盖。
(4)当 $ n=3 $ 时,我们只考虑最后一步的情况:(a)当最后一步只需覆盖一个 $ 2\times1 $ 的矩形时时, $ f(3)=f(3-1) $ ;(b)当最后一步需覆盖一个 $ 2\times2 $ 的矩形时, $ f(3)=f(3-2) $
(5)以此类推,当 $ n=N $ 时,只需考虑最后一步的情况即可:(a)当最后一步只需覆盖一个 $ 2\times1 $ 的矩形时, $ f(N)=f(N-1) $ ;(b)当最后一步需覆盖一个 $ 2\times2 $ 的矩形时, $ f(N)=f(N-2) $ ;
3.3 程序代码:
class Solution:
def rectCover(self, number):
# 使用迭代法进行
if number == 0:
return 0
methods = []
for i in range(1,number+1):
if i in [1,2]:
methods.append(i)
else:
methods.append(methods[-1]+methods[-2])
return methods[-1]