斐波那契公约数证明

斐波那契公约数证明

已知 $F_n$ 为斐波那契数列， 求证：$\forall n,m\in Z^{+},(F_n,F_m)=F_{(n,m)}$

证明：

令 $n<m$, $F_n=F_1\ast a,F_{n+1}=F_2\ast b$

$F_{n+2}=F_1\ast a+F_2\ast b$

$F_{n+3}=F_2\ast a+(F_2+F_2)\ast b=F_2\ast a+F_3\ast b$

$F_{n+4}=F_3\ast a+F_4\ast b$

$F_{n+5}=F_4\ast a+F_5\ast b$

.......

$F_m=F_{n+(m-n)}=F_{m-n-1}\ast a+F_{m-n}\ast b=F_{m-n-1}\ast F_n+F_{m-n}\ast F_{n+1}$

$(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n-1}\ast F_n+F_{m-n}\ast F_{n+1})$

​ $=(F_n,F_{m-n}\ast F_{n+1})$

又 $(F_n,F_{n+1})=1$

因此有： $(F_n,F_m)=(F_n,F_{m-n})$

​ $=(F_n,F_{m\mathrm{\%}n})$

​ $=F_{(n,m)}$