二叉排序树
1.定义
二叉排序树(Binary Search Tree)又称二叉搜索(查找)树,其定义如下:
(1)若它的左子树非空,则左子树上所有结点的权值都比根结点的权值小;
(2)若它的右子数非空,则右子树上所有结点的权值都比根结点的权值大;
(3)左、右子树本身又是一棵二叉排序树。
以上既是二叉排序树的定义,同时也是它的性质。从定义可以看出,二叉排序树的定义是一个递归的定义。对于一棵二叉排序树的中序遍历则是一个递增有序序列。
2.二叉排序树的插入Insert
根据二叉排序树的递归定义,进行插入操作的时候可以用递归实现,其插入过程如下:
(1)如果二叉排序树为空,则创建一个关键字为key的结点,并将其作为根结点;
(2)否则将key和根结点的key值比较,若相等则返回;
1)若key值小于根结点的key值,判断根结点的左孩子是否为空,如果为空,则创建一个关键字为key的结点,并将该结点作为根结点的
左孩子;如果不为空,则递归插入到该根结点的左子树当中。
2)若key值大于根结点的key值,判断根结点的右孩子是否为空,如果为空,则创建一个关键字为key的结点,并将该结点作为根结点的
右孩子;如果不为空,则递归插入到该根结点的右子树当中。
递归实现:
void
insert(BSTNode *&root,ElemType key) //注意这里为什么用指针的引用 { if (root==NULL)
//如果该树为空 { root=(BSTNode
*) malloc ( sizeof (BSTNode)); root->key=key; root->left=NULL; root->right=NULL; } else { if (root->key==key) return ; else
if (root->key>key)
//key小于根结点的权值 { if (root->left==NULL)
//root的左孩子为空,则创建一个结点作为root的左孩子 { BSTNode
*p=(BSTNode *) malloc ( sizeof (BSTNode)); p->key=key; p->left=NULL; p->right=NULL; root->left=p; } else insert(root->left,key);
//递归插入到左子树中 } else
//key大于根结点的权值 { if (root->right==NULL)
//root的右孩子为空,则创建一个结点作为root的右孩子 { BSTNode
*p=(BSTNode *) malloc ( sizeof (BSTNode)); p->key=key; p->left=NULL; p->right=NULL; root->right=p; } else insert(root->right,key);
//递归插入到右子树中 } } } |
非递归实现:
void
insert(BSTNode *&root,ElemType key) { if (root==NULL) { root=(BSTNode
*) malloc ( sizeof (BSTNode)); root->key=key; root->left=NULL; root->right=NULL; return ; } BSTNode
*p1,*p2; int
flag; p1=root; while (p1!=NULL) { p2=p1; if (key==p1->key) return ; else
if (key<p1->key) { p1=p1->left; flag=0; } else { p1=p1->right; flag=1; } } BSTNode
*p=(BSTNode *) malloc ( sizeof (BSTNode)); p->key=key; p->left=NULL; p->right=NULL; if (flag==0) p2->left=p; else p2->right=p;
} |
3.二叉排序树的查找
最坏情况的查找是二叉排序树行成的是一个高度为n的线性树,其平均查找长度跟顺序查找的相同,为n+1/2;
最好情况是与二分判定树形态相同,其平均查找长度和二分查找相同为logn;
BSTNode*
search(BSTNode *root,ElemType key) { if (root==NULL||root->key==key) return
root; else
if (key<root->key) search(root->left,key); else search(root->right,key); } |
BSTNode*
search(BSTNode *root,ElemType key) { if (root==NULL||root->key==key) return
root; BSTNode
*p=root; while (p!=NULL&&key!=p->key) { if (key<p->key) p=p->left; else p=p->right; } return
p; } |
关于二叉排序树的运用可以看一下POJ2418
http://poj.org/problem?id=2418
这道题目有2种解法,一种是采用二叉排序树去实现,一种是直接采用STL模板实现,下面只给出STL的实现。
#include<iostream> #include<string> #include<map> #include<algorithm> using
namespace
std; int
main( void ) { int
i; int
n=0; map<string, int >
tree; map<string, int >::iterator
it; char
str[31]; while ( gets (str)) { string
name; for (i=0;str[i]!= '\0' ;i++) { name+=str[i]; } tree[name]++;
//map<string,int>若没有赋初值,则value值默认为0 n++; } for (it=tree.begin();it!=tree.end();it++) { cout<<it->first; printf ( "
%.4lf\n" ,100*( double )(it->second)/n); } return
0; } |