【学习总结】数学-基本计数方法

一、计数方法的原理

1.加法原理：做一件事情有n中办法。第i种办法有pi种运行方案。那么总的解决这件事情的方案数即为p1+p2+p3+...+pn。

2.乘法原理：做一件事情分为n个步骤，第i个步骤的运行方案有pi种，则一共同拥有p1∗p2∗p3∗...∗pn种方案解决该问题。

3.容斥原理：一个班级有，集合A的人喜欢数学。集合B的人喜欢英语，结合C的人喜欢语文，那么该班级的人数应该是多少？
假设我们将三个集合的人数相加起来。那么就反复计算了既喜欢数学又喜欢英语的、既喜欢英语又喜欢语文的和既喜欢数学又喜欢语文的人。还有三种都喜欢的学霸级人物被计算了三次!!!
全然不科学啊。所以我们再减去既喜欢数学又喜欢英语的、既喜欢英语又喜欢语文的和既喜欢数学又喜欢语文这种次级学霸。嗯，没错，计算了两次就减掉一次。

可是好像哪里有什么不正确，我们貌似忘记计算学霸了(三个科目都喜欢的人)。好没存在感，被计算了三次又被减掉了三次!.所以作为特殊补偿，我们单独计算学霸。

于是乎得到了公式：∣∣A⋃B⋃C∣∣=∣∣A∣∣+∣∣B∣∣+∣∣C∣∣−∣∣A⋂B∣∣−∣∣B⋂C∣∣−∣∣C⋂A∣∣+∣∣A⋂B⋂C∣∣
加加减减。把反复的扣掉。再把扣多的加回来

二、常见的计数问题

1.排列问题：有n个不同的数，选k个排成一排，每一个数最多选一次，问有多少种排列的方法？
分析：对于第一个位置。能够选n种数字。可是对于第二个位置。要扣除第一个位置上的数字，所以有n−1种选法。一次类推，依据乘法原理即为A(kn)=n!/(n−k)!

2.组合问题：有n个不同的数，选出k个，顺序无关，问有多少种选择方法？
分析：已经知道假设须要排序的答案是A(kn),而每一次选出来的k个数也是不同，排列种数即为k个数中选择k个数而且排列的问题，为A(kk)，这样答案即为A(kn)A(kk),即排列组合公式C(kn)

3.二项式展开问题，求(a+b)n展开式的各项系数。
分析：依据二项式定理(a+b)n=∑k=0nC(kn)∗an−k∗bk,于是仅仅要求出各个C(kn)就可以。

4.有反复元素的全排列。k个元素。当中第i个元素有ni个,求全排列的个数？
分析：设答案为x，由于n1+n2+n3+...+nk=n,所以有n1!∗n2!∗n3!∗...∗nk!∗x=n!，x可求。

5.可反复选择的组合，有n个不同元素，每一个元素能够选多次。一共选k个元素。问优多少种选法？
分析：设第i个元素有xi个。那么就有x1+x2+x3+...+xn=k，求该式子的非负整数解个数，等于是将k个1随机分配给xi，可是有些xi可能一个都分不到，那么我们该怎么计算呢？令yi=xi+1,则有y1+y2+y3+...+yn=k+n,这样当yi=1时，xi=0，所以我们要将k+n个1，随机分配个yi,而且保证每一个yi都至少分到一个。于是C(n−1k+n−1) 即为 C(kk+n−1)

6.单色三角形。给定空间里的n个点，当中没有三点共线，每两个点之间都用红色或者黑色线段连接。求三条边同色的三角形个数。
分析：从反面考虑，我们仅仅须要求出非单色三角形的个数即能够求出单色三角形的个数。对于一个公共点的两个异色边来说。仅有唯一的单色三角形。所以对与每一个顶点，有ai条边红色边。n−1−ai条黑色边。于是构成了ai∗(n−1−ai)个异色三角形。于是总共同拥有12∑i=1nai∗(n−1−ai)。

三、组合数学的性质

性质1：C(0n)=C(nn)
性质2：C(kn)=C(n−kn)
性质3：C(kn)+C(k+1n)=C(k+1n+1)
性质4：C(k+1n)=C(kn)∗n−kk+1