费马小定理

费马小定理

如果 $p$ 是质数，则对任意整数 $a$ ,有

$$a^p\equiv a(modp)\Rightarrow gcd(a,p)=1$$

前提：

1. $p$ 是质数
2. $gcd(a,p)=1$

证明：

有数列$S=\{1,2,3,\cdots p-1\}$，将 $S\times a\Rightarrow \{a,2a,3a,\cdots ,(p-1)a\}$

$$(S\times a)modp\Rightarrow \{a,2a,3a,\cdots ,(p-1)a\}modp\Rightarrow \{1,2,3,\cdots ,p-1\}$$

（因为 $gcd(a,p)=1$，所以余数为1~p-1）

$$\begin{gathered} \prod _{i=1}^{p-1}i\equiv \prod _{i-1}^{p-1}a\times i(\mathrm{mod}p) \\ (p-1)!\equiv a^{p-1}\times (p-1)!(\mathrm{mod}p) \\ 1\equiv a^{p-1}(\mathrm{mod}p) \\ {a}^{-1}\equiv a^{p-2}(\mathrm{mod}p) \end{gathered}$$