欧拉函数

欧拉函数

参考文章：

基础数论复习

定义

我们定义 \(\varphi(x)\) 为 小于 \(x\) 的正整数中与 \(x\) 互质的数的个数，称作欧拉函数。

性质

• 若 \(x\) 为质数， \(\varphi(x)=x-1\)

  证明：显然若 \(x\) 是质数，在1 ~ \(x\) 范围内，除 \(x\) 本身外，其余数字均与 \(x\) 互质。

• 若 \(x=p^c\) （ \(p\) 为质数），则 \(\varphi(x)=(p-1) \times p^{k-1}\) 。

  证明：所有 \(p\) 的倍数都与 \(x\) 不互质，其他所有数都与他互质。\(p\) 的倍数刚好有 \(p^{k-1}\) 个（包括 \(x\) 本身）

  那么 \(\varphi(x)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}\) 。

• 若 \(p,q\) 互质，则有 \(\varphi(p\times q)=\varphi(p)\times \varphi(q)\) ，可知，欧拉函数本身是积性函数。

• 若 \(p\) 为 \(x\) 的约数（ \(p\) 为质数， \(x\) 为任意正整数），我们有 \(\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times p\)

• 若 \(p\) 不为 \(x\) 的约数（ \(p\) 为质数， \(x\) 为任意正整数），我们有 \(\varphi(x\times p)=\varphi(x)\times (p-1)\)

• 对于一个正整数 \(x\) 的质数幂分解 \(x=p_1^{k1}\times p_1^{k1}\times\cdots\times p_1^{k1}=\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}\) 。

  \[\varphi(x)=x\times (1-\frac{1}{p_1} ) \times (1-\frac{1}{p_1} ) \times\cdots\times (1-\frac{1}{p_1} ) = x\times \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i}) \]

求欧拉函数

若求单个数的欧拉函数，直接利用性质4求解。时间复杂度\(O(\sqrt x)\)。

int phi(int n) {
	int ans = n;
	int t = sqrt(n);
	for(int i=2; i<=t; ++i) {
		if(n%i == 0)
			ans = ans/i*(i-1);
		while(n%i == 0) n /= i;
	}
	if(n > 1) ans = ans/n/(n-1);
	return ans;
}

若求前\(n\)个数的欧拉函数，可使用埃氏筛（性质4）或线性筛（性质5、6）。

//线性筛
void init(){
	int n=1e7+50;//范围
	phi[1]=1; //特判1
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){pr[++cnt]=i,phi[i]=i-1;}//质数，性质1
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]<=n/i;j++){
			vis[i*pr[j]]=1;
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*((i%pr[j])?pr[j]-1:pr[j]); 
			if(i%pr[j]==0)break;
		} 
	}
}