一个计数问题（cf1295F）

Educational Codeforces Round 81 Problem F. Good Contest

题意

一个长度为\(n\)的整数数列，第\(i\)个元素在\([l_i, r_i]\)里均匀随机，求它单调不增的概率。由于答案是个有理数，输出它在模\(998244353\)下的值。

题面里定义的inversion很奇怪，所以我一开始把它看成单调不减了，测样例才发现。不过也没关系，把序列翻转一下就行，后面就按单调不减写了。

\(l_i, r_i\)的范围很大：\(0 \leq l_i \leq r_i \leq 998244351\)，仅仅让作为分母的\(r_i-l_i+1\)不达到\(998244353\)以保证逆元存在。\(n \leq 50\)

观察

首先考虑朴素的dp：\(dp[i][j]\)表示第\(i\)个元素是\(j\)，并且以它为结尾的前缀单调不减的方案数，转移是平凡的：\(dp[i][j]=\sum_{l_{i-1} \leq k \leq j} dp[i-1][k]\)

注意到\(n\)不是很大，那么离散化之后值域就被分成了\(O(n)\)段。按这个思路做下去的话，就是要考虑每一段中的dp值有什么性质，一起处理。为了找到这个性质，首先观察一个简单的情况：所有区间均相同，\(l=0\)且\(r\)充分大。这时考虑差分，\(dp[i][j]\)就是将\(j\)拆分为\(i\)个非负整数之和的方案数了，即\(dp[i][j]=\begin{pmatrix} j+i-1 \\ i-1 \end{pmatrix}\)

再考虑上面的dp转移，这提示我们用到组合数的这个性质：\(\sum_{k=0}^r \begin{pmatrix} t+k \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+r+1 \\ t+1 \end{pmatrix}\)，这意味着如果值域中某一段的dp值为\(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} t+1 \\ t \end{pmatrix}, \dots\)，那么它对下一阶段同一段的贡献依然保持这一形式，不过\(t\)会增加\(1\)

除了上一阶段同一段的贡献，上一阶段更小的段也会产生贡献：使当前段所有dp值加上一个常数，这可以被看成\(t=0\)的情况乘上一个常数。因此，一段的dp值可以被拆分为若干个\(c\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}, c\begin{pmatrix} t+1 \\ t \end{pmatrix}, \dots\)的和的形式，并且在转移中依然保持这个形式。其实也就是归纳证明了这个表示方法。

这样一来其实已经做出来了，对每个阶段每个值域段存储一个\(c-t\) pair的列表即可。在转移时，直接把上一阶段同一值域段的列表复制过来，所有\(t\)加\(1\)，再增加一项更小的值域段的贡献。这样，列表的长度每过一个阶段至多增加\(1\)，是\(O(n)\)的。转移时从小到大枚举值域段，累加前一阶段贡献的同时算出这一阶段。这里要做的是把前一阶段当前值域段的dp值之和累加进去。一个\(c-t\) pair对应的和是一个组合数，经过\(O(n^2)\)的预处理是可以\(O(1)\)做的。因此对于\(O(n)\)段，每段枚举\(O(n)\)个\(c-t\) pair，每阶段耗时\(O(n^2)\)。同值域段转移时复制vector也是一样的复杂度，所以复杂度是\(O(n^3)\)

因为\(n\)很小，我比赛的时候并没有预处理组合数，复杂度实际是\(O(n^4)\)的，依然跑得飞快。