离散数学偏序关系

偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

偏序关系 定义 :

1.前置条件 1 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothingA
̸
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=∅ , 并且 R ⊆ A × A R \subseteq A \times AR⊆A×A ;

2.前置条件 2 : 如果 R RR 是 自反 , 反对称 , 传递的 ;

① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , x R x xRxxRx ;
② 反对称 : 如果 x R y xRyxRy 并且 y R x yRxyRx 则 x = y x=yx=y , 即 x ̸ = y x \not=yx
̸
​
=y , x R y xRyxRy 和 y R x yRxyRx 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
③ 传递 : 如果 有 x R y xRyxRy , y R z yRzyRz , 那么必须有 x R z xRzxRz , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;
3.结论 : 称 R RR 为 A AA 上的偏序关系 ;

4.表示 : 使用 ⪯ \preceq⪯ 表示偏序关系 ;

5.读法 : ⪯ \preceq⪯ 读作 "小于等于" ;

6.使用公式表示 :
< x , y > ∈ R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y <x, y> \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y
<x,y>∈R⟺xRy⟺x⪯y

7.公式解读 : 如果 x xx , y yy 两个元素 构成 有序对 &lt; x , y &gt; &lt;x,y&gt;<x,y> , 并且在偏序关系R RR 中 , x xx 和 y yy 具有 R RR 关系 , 也可以写成 x xx 小于等于 ( 偏序符号 ) y yy ;

8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非 0 00 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;
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