CodeForces 582D Number of Binominal Coeficients
CodeForces 582D Number of Binominal Coeficients
https://codeforces.com/contest/582/problem/D
给出 \(p\) ,和 \(\alpha,A\) ,求有多少 \(0 \le k \le n \le A\) 满足
\[p^{\alpha} \mid \binom nk
\]
答案对 \(10^9+7\) 取模
\(1 \le p \le \alpha \le 10^9\)
\(0 \le A < 10^{1000}\)
Tutorial
\[\binom nk = \dfrac {n!}{k!(n-k)!}
\]
如何求最大的 \(\alpha\) 使得 \(p^{\alpha} \mid n!\) .
\[\alpha = \sum_{w=0}^{m} \lfloor \dfrac n{p^w} \rfloor
\]
其中 \(m\) 为最大的使得 \(p^m \le n\) 的数.
那么 \(\binom nk\) 的 \(\alpha\) 就是
\[\alpha = \sum_{w=0}^m \lfloor \dfrac n{p^w} \rfloor - \lfloor \dfrac k{p^w} \rfloor - \lfloor \dfrac {n-k}{p^w} \rfloor
\]
由于 \(n = k + (n - k)\) ,所以这可以看作 \(k+(n-k)\) 做 \(k\) 进制加法时的进位次数.
所以当 \(\alpha \ge m\) 时无解.
设 \(dp[i][x][e][r]\) 表示考虑了\(A\) 的 \(p\) 进制前 \(i\) 位,当前的 \(n\) 的前缀是否等于 \(A\) 的前缀(\(e\)),共进位了 \(x\) 次,当前位置是否需要进位 \(r\) .
若枚举 \(n,k\) 这一位的取值,复杂度无法接受.
发现转移时合法的 \(n,k\) 是一个算术级数的形式,可以直接 \(O(1)\) 转移.
复杂度 \(O(|A|^2)\)
Code
#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
using namespace std;
template<class T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1,ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10-'0'+ch;ch=getchar();}
x*=f;
}
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=3400;
int p;
int alpha;
int dp[maxn][maxn][2][2];
char s[maxn];
inline int sub(int x) {return x<0?x+mod:x;}
inline int Add(int &x,int y) {x+=y; if(x>=mod) x-=mod;}
int div(vector<int> &a,int b,vector<int> &re) {
re.clear();
ll rest=0;
for(int i=0;i<a.size();++i) {
rest=rest*10+a[i];
if(re.size()||rest>=b) re.push_back(rest/b);
rest%=b;
}
return rest;
}
inline int calw(int c,int r,int nr)
{
if(r) return p-calw(c,!r,nr);
return c+1-nr;
}
inline int calW(int c,int r,int nr)
{
if(r) return sub((ll)p*(c+1)%mod-calW(c,!r,nr));
return sub((ll)(c+2)*(c+1)/2%mod-nr*(c+1));
}
int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
read(p),read(alpha);
scanf("%s",s);
vector<int> a; a.resize(strlen(s));
for(int i=0;i<a.size();++i) {
a[i]=s[i]-'0';
}
vector<int> b,c;
while(a.size()) {
c.push_back(div(a,p,b));
a=b;
}
reverse(c.begin(),c.end());
int n=c.size();
if(alpha>n){puts("0"); return 0;}
dp[0][0][1][0]=1;
for(int i=0;i<n;++i) {
for(int x=0;x<=alpha;++x) {
for(int e=0;e<2;++e) {
for(int r=0;r<2;++r) if(dp[i][x][e][r]) {
for(int nr=0;nr<2;++nr) {
int nx=min(x+nr,alpha);
if(!e) Add(dp[i+1][nx][e][nr],(ll)calW(p-1,r,nr)*dp[i][x][e][r]%mod);
else {
if(c[i]) Add(dp[i+1][nx][!e][nr],(ll)calW(c[i]-1,r,nr)*dp[i][x][e][r]%mod);
Add(dp[i+1][nx][e][nr],(ll)calw(c[i],r,nr)*dp[i][x][e][r]%mod);
}
}
}
}
}
}
int re=0;
for(int e=0;e<2;++e) Add(re,dp[n][alpha][e][0]);
printf("%d\n",re);
return 0;
}
