数据结构与算法——迪杰斯特拉（Dijkstra）算法
tip：这个算法真的很难讲解，有些地方只能意会了，多思考多看几遍还是可以弄懂的。
应用场景-最短路径问题
战争时期，胜利乡有 7 个村庄 (A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄，各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
问：如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的 最短距离? 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是 典型 最短路径算法，用于 计算一个节点到其他节点的最短路径。 它的主要特点是 以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
迪杰斯特拉算法过程
设：
-
v：出发顶点
-
V：为顶点集合
V{v1,v2,vi...} -
vs：已经访问过的顶点
- 0 ：未访问
- 1：已访问
-
dis：v 到 V 中各个顶点的距离
dis{d1,d2,di...}到自身（v 到 v）的距离为 0，v 到 Vi 的距离为 di
那么有如下规则：
- 从 dis 中选择值最小的 di 并移除 dis 集合，同时移除 V 集合中对应的顶点 vi，此时的 v 到 vi 即为最短路径
- 更新 dis 集合，更新规则为：比较 v 到 V 集合中顶点的距离，与 v 通过 Vi 到 V 集合中顶点的距离值，保留较小的一个（同时也应该更新顶点的 前驱节点 为 Vi，表名是通过 Vi 达到的。）
- 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
上面的算法过程脱离了具体的实现，很抽象，下面通过具体一点的实现步骤过程来看看到底是怎么弄的
迪杰斯特拉算法-步骤
需要以下三个重要的数组：
-
already_arr：记录各个顶点是否访问过1 表示访问过，0 表示未访问过，每搜索一层（广度优先），都会被动态更新。
比如从 G 点出发，访问过
G,A，此时 A 不算访问过，G 算被访问的节点，因为要计算 G 到 A 的距离，但是 A 不是 访问节点 或 出发节点 -
pre_visited_arr：每个下标对应的值为前一个顶点下标（前驱节点），统一动态更新比如：从 G 点出发，会访问
G,A、G,B、G,E、G,F，那么 A、B、E、F 的前驱节点就是 G -
dis_arr：记录出发点到其他所有顶点的距离比如：从 G 出发，到过了
G,A，再从A,C到 C，则记录的是 G 到 C 的路径距离
过程如下：
-
以 G 为起点，的各个数组的初始状态
对应的村庄 [A, B, C, D, E, F, G] 下标 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] already_arr = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] pre_visited_arr = [N, N, N, N, N, N, 0] dis_arr = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]含义：
already_arr[n] = 0：则表示，该点还没有访问过already_arr[6] = 1：该点已经访问过，因为从 G 出发，那么 G 点自己就被访问过了dis_arr中都为 0，因为从 G 点开始，还没有到达过其他点pre_visited_arr[n] = N：其中 N 为一个较大的值，表示不能直接连接通的权值
-
计算过从 G 点能到达的点
A,B,E,F之后的情况如下对应的村庄 [A, B, C, D, E, F, G] 下标 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] already_arr = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] pre_visited_arr = [6, 6, N, N, 6, 6, 0] dis_arr = [2, 3, 0, 0, 4, 6, 0]含义：
already_arr[6] = 1：表示 G 点被访问过pre_visited_arr[0]=6：表示 节点 A 的前驱节点是 6，即 Gdis_arr[0]：表示 G 到 A 的距离是 2
-
根据广度优先原则（并不是以 GA，GB A 在前面而选择 A，这里的广度优先指的是：以 G 为起点，那么则把与 G 直连的全部计算，这样一层一层的计算），会先判定 A 点是否需要作为 访问顶点（注意不是出发顶点），需要满足以下条件：
-
A 点没有被访问过
-
并且 G 点到 A 点的距离，要小于 dis_arr 中对应 G 到 A 的距离，因为可能出现以下情况：
有可能其他通过其他节点到达 A 点的距离是最短的。
那么此轮会计算
A,B、A,C，访问之后的情况如下对应的村庄 [A, B, C, D, E, F, G] 下标 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] already_arr = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] pre_visited_arr = [6, 0, 0, N, 6, 6, 0] dis_arr = [2, 7, 9, 0, 4, 6, 0] 此次变动的有 ↑ ↑already_arr[0] = 1： 表示当前访问的是 Adis_arr[1] = 7： 表示 G 到 B （中间经过 A）的距离是 7dis_arr[2] = 9： 表示 G 到 C （中间经过 A）的距离是 9
这里就出现一个问题：
如上图：
GAB = 7，但是GB=3，并且在访问 G 点的时候，已经计算出了GB的距离，所以这里GAB > GB的，它不应该被更新到这里来。最终调节之后的结果为：对应的村庄 [A, B, C, D, E, F, G] 下标 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] already_arr = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1] pre_visited_arr = [6, 6, 0, N, 6, 6, 0] dis_arr = [2, 3, 9, 0, 4, 6, 0] -
如果还不懂，就结合下面的代码进行理解。
代码实现
构建无向图
老规矩，这种图结构，都需要先构建出它的图结构，这里还是使用之前学过的 邻接矩阵 构建
/**
* 迪杰斯特拉算法-最短路径问题
*/
public class DijkstraAlgorithm {
// 不连通的默认值
int N = 100000;
/**
* 图：首先需要有一个带权的连通无向图
*/
class MGraph {
int vertex; // 顶点个数
int[][] weights; // 邻接矩阵
char[] datas; // 村庄数据
int edgeNum; // 共有多少条边
/**
* @param vertex 村庄数量， 会按照数量，按顺序生成村庄，如 A、B、C...
* @param weights 需要你自己定义好那些点是连通的，那些不是连通的
*/
public MGraph(int vertex, int[][] weights) {
this.vertex = vertex;
this.weights = weights;
this.datas = new char[vertex];
for (int i = 0; i < vertex; i++) {
// 大写字母 A 从 65 开始
datas[i] = (char) (65 + i);
}
// 计算有多少条边
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
/*
A B C D E F G
A 0 12 100000 100000 100000 16 14
B 12 0 10 100000 100000 7 100000
j = i + 1：比如:
i=0,j=1, 那么就是 A,B 从而跳过了 A,A
i=1,j=2, 那么就是 B,C 从而跳过了 B,A B,B
那么含义就出来了：跳过双向边的统计，也跳过自己对自己值得为 0 的统计
*/
for (int j = i + 1; j < weights.length; j++) {
if (weights[i][j] != N) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void show() {
System.out.printf("%-8s", " ");
for (char vertex : datas) {
// 控制字符串输出长度：少于 8 位的，右侧用空格补位
System.out.printf("%-8s", vertex + " ");
}
System.out.println();
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
System.out.printf("%-8s", datas[i] + " ");
for (int j = 0; j < weights.length; j++) {
System.out.printf("%-8s", weights[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
@Test
public void mGraphTest() {
int[][] weights = new int[][]{
// A B C D E F G
/*A*/ {N, 5, 7, N, N, N, 2},
/*B*/ {5, N, N, 9, N, N, 3},
/*C*/ {7, N, N, N, 8, N, N},
/*D*/ {N, 9, N, N, N, 4, N},
/*E*/ {N, N, 8, N, N, 5, 4},
/*F*/ {N, N, N, 4, 5, N, 6},
/*G*/ {2, 3, N, N, 4, 6, N}
};
MGraph mGraph = new MGraph(7, weights);
mGraph.show();
System.out.printf("共有 %d 条边\n", mGraph.edgeNum);
}
}
测试输出
A B C D E F G
A 100000 5 7 100000 100000 100000 2
B 5 100000 100000 9 100000 100000 3
C 7 100000 100000 100000 8 100000 100000
D 100000 9 100000 100000 100000 4 100000
E 100000 100000 8 100000 100000 5 4
F 100000 100000 100000 4 5 100000 6
G 2 3 100000 100000 4 6 100000
共有 10 条边
迪杰斯特拉算法求解
@Test
public void dijkstraTest() {
int[][] weights = new int[][]{
// A B C D E F G
/*A*/ {N, 5, 7, N, N, N, 2},
/*B*/ {5, N, N, 9, N, N, 3},
/*C*/ {7, N, N, N, 8, N, N},
/*D*/ {N, 9, N, N, N, 4, N},
/*E*/ {N, N, 8, N, N, 5, 4},
/*F*/ {N, N, N, 4, 5, N, 6},
/*G*/ {2, 3, N, N, 4, 6, N}
};
MGraph mGraph = new MGraph(7, weights);
mGraph.show();
System.out.printf("共有 %d 条边 \n", mGraph.edgeNum);
dijkstra(mGraph, 'G');
}
// 记录各个顶点是否访问过
private boolean[] already_arr;
// 记录每个下标对应的值为前一个顶点下标（前驱节点）
private int[] pre_visited_arr;
// 记录出发点到其他所有顶点的距离
private int[] dis_arr;
private MGraph mGraph;
private void dijkstra(MGraph mGraph, char start) {
this.mGraph = mGraph;
// 三个数组的长度为 顶点的个数
already_arr = new boolean[mGraph.vertex];
pre_visited_arr = new int[mGraph.vertex];
dis_arr = new int[mGraph.vertex];
// 找到开始节点的下标
int v = 0;
for (int i = 0; i < mGraph.datas.length; i++) {
if (mGraph.datas[i] == start) {
v = i;
break;
}
}
// 初始化所有前驱节点为默认状态，使用不可连通的 N 值表示
Arrays.fill(pre_visited_arr, N);
// 标记开始节点为访问状态
already_arr[v] = true;
//我们使用 N 表示没有前驱节点
// v 是开始节点，那么它就没有前驱节点
pre_visited_arr[v] = N;
// 初始化从起点到到所有点的距离为最大值，后续方便通过它来与新路径距离比较
Arrays.fill(dis_arr, N);
// 初始化，当前访问节点的距离为 0
dis_arr[v] = 0;
// 准备工作完成：开始查找最短路径
// 广度优先策略：从起始节点计算它能直达的点的所有距离
update(v);
// 一共只需要计算 6 层： 7 个站点 -1
for (char data : mGraph.datas) {
// 寻找下一个访问节点
int index = findNext();
// 标记该节点被访问过，然后再计算与它直连点的路径
already_arr[index] = true;
// 并继续计算路径
update(index);
}
// 所有节点都访问过之后：dis_arr 中就保留了从起点 到各个点的最短距离
System.out.println(Arrays.toString(already_arr));
System.out.println(Arrays.toString(pre_visited_arr));
System.out.println(Arrays.toString(dis_arr));
System.out.println("从 " + start + " 到以下点的最短距离为：");
// 为了结果好认一点，格式化最后的结果
for (int i = 0; i < dis_arr.length; i++) {
System.out.printf("%S(%d) ", mGraph.datas[i], dis_arr[i]);
}
System.out.println();
}
/**
* 计算起点到：当前节点所有能直连的节点的距离
*
* @param v
*/
private void update(int v) {
int[][] weights = mGraph.weights; // 我们的邻接矩阵图
int len = 0;
// weights[v]：由于是广度优先，所以每次只计算与该点能直连的点，也就是该点所在的一行
for (int i = 0; i < weights[v].length; i++) {
if (weights[v][i] == N) { // 不能直连，跳过
continue;
}
// 计算从起点到当前要连通节点的距离 = 起点到当前访问节点的距离 + 访问节点到直连节点的距离
len = dis_arr[v] + weights[v][i];
// 首先：起点G -> A, A 要没有被访问过
// 其次：如果当前计算新的路径距离 小于 已经存在的 从 起点 G -> 当前计算点的距离
// 说明之前可能从其他途径到达了 i 点，这个距离是比现在找到的距离远
// 当前的近，那么就更新数组中的数据
if (!already_arr[i] && len < dis_arr[i]) {
dis_arr[i] = len;
pre_visited_arr[i] = v; // 更改前驱节点，表示 经过了 v 这个点（当前正在访问的点），到达的 i 点
}
}
}
/**
* 广度优先策略一层计算完成之后，寻找下一个节点再计算
*
* @return
*/
private int findNext() {
int min = N, index = 0;
for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
// 该节点没有被访问过
// 并且：从起点到达该节点的距离是最小的
// 如果是第一层执行完成之后：那么有值的则只有：与起点能直连的那几个
// 这里就类似与：原来广度优先中使用队列来保存搜索路径了
if (!already_arr[i] && dis_arr[i] < min) {
min = dis_arr[i];
index = i;
}
}
return index;
}
测试输出
A B C D E F G
A 100000 5 7 100000 100000 100000 2
B 5 100000 100000 9 100000 100000 3
C 7 100000 100000 100000 8 100000 100000
D 100000 9 100000 100000 100000 4 100000
E 100000 100000 8 100000 100000 5 4
F 100000 100000 100000 4 5 100000 6
G 2 3 100000 100000 4 6 100000
共有 10 条边
[true, true, true, true, true, true, true]
[6, 6, 0, 5, 6, 6, 100000]
[2, 3, 9, 10, 4, 6, 0]
从 G 到以下点的最短距离为：
A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0)
从输出结果可以看到：
-
[true, true, true, true, true, true, true]所有节点都访问过了
-
[6, 6, 0, 5, 6, 6, 100000]从起点到达每个节点的前驱节点如数组上所示
- G 到 A：前驱就是 G，表示从 G 到达的 A
- G 到 B：前驱也是 G
- G 到 C：前驱是 A，表示从 G 到 C，至少经过了 A，这里看就是 GAC
- ...
- G 到 G：这里用了最大值表示，是他自己
-
[2, 3, 9, 10, 4, 6, 0]即A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0)-
从 G 到 A 最短路径为 2
-
从 G 到 B 最短路径为 3
-
从 G 到 C 最短路径为 9
从图上人工校验可以知道 G 到 C 有两条：
G → A → C：9 里G → E → C：12 里
证明算法是正确的
-
...
-
最后一个 G 到 G，自己到自己，就是 0
-
换一个出发点验证
这里换一个触发点 C 来看看执行结果
/**
* 从 c 出发
*/
@Test
public void dijkstraTest2() {
int[][] weights = new int[][]{
// A B C D E F G
/*A*/ {N, 5, 7, N, N, N, 2},
/*B*/ {5, N, N, 9, N, N, 3},
/*C*/ {7, N, N, N, 8, N, N},
/*D*/ {N, 9, N, N, N, 4, N},
/*E*/ {N, N, 8, N, N, 5, 4},
/*F*/ {N, N, N, 4, 5, N, 6},
/*G*/ {2, 3, N, N, 4, 6, N}
};
MGraph mGraph = new MGraph(7, weights);
mGraph.show();
System.out.printf("共有 %d 条边 \n", mGraph.edgeNum);
dijkstra(mGraph, 'C');
}
测试输出
A B C D E F G
A 100000 5 7 100000 100000 100000 2
B 5 100000 100000 9 100000 100000 3
C 7 100000 100000 100000 8 100000 100000
D 100000 9 100000 100000 100000 4 100000
E 100000 100000 8 100000 100000 5 4
F 100000 100000 100000 4 5 100000 6
G 2 3 100000 100000 4 6 100000
共有 10 条边
[true, true, true, true, true, true, true]
[2, 0, 100000, 5, 2, 4, 0]
[7, 12, 0, 17, 8, 13, 9]
从 C 到以下点的最短距离为：
A(7) B(12) C(0) D(17) E(8) F(13) G(9)
验证几个：
- 从 C 到 A 最短路径为 7
- 从 C 到 B 最短路径为 12
- CAB：12
- CEGB：15
- CAGB：12，虽然有相同的，但是还是最短的
- ....
- 从 C 到 C 最短路径为 0
- ...
- 最后一个 C 到 G 最短路径为 9
