数据结构与算法——克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
应用场景-公交站问题
某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在 需要修路把 7 个站点连通，各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里 问：如何修路保证 各个站点都能连通，并且 总的修建公路总里程最短?
如上图所示：要求和前面的普利姆算法中的修路问题是一样的要求，只是换了一个背景。
克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
具体做法：
- 首先构造一个只含 n 个顶点的森林
- 然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
克鲁斯卡尔算法图解
在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
有多种不同的连通方式，但是哪一种权值才是最优的呢？下面是克鲁斯卡尔算法的图解步骤：
以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。
-
第 1 步：将边
E,F [2]加入 R 中。边
E,F的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。 -
第 2 步：将边
C,D [3]加入 R 中。上一步操作之后，边
C,D的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。 -
第 3 步：将边
D,E [4]加入 R 中。同理，权值最小
-
第 4 步：将边
B,F [7]加入 R 中。上一步操作之后，边
C,E [5]的权值最小，但C,E会和已有的边构成回路；因此，跳过边C,E。同理，跳过边C,F [6]。将边B,F加入到最小生成树结果R中。 -
第 5 步：将边
E,G [8]加入 R 中。 同理 -
第 6 步：将边
A,B [12]加入 R 中。上一步操作之后，边
F,G [9]的权值最小，但F,G会和已有的边构成回路；因此，跳过边F,G。同理，跳过边B,C [10]。将边A,B加入到最小生成树结果R中。 此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>总里程为 36。
动图：
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
-
对图的所有边按照权值大小进行排序。
此问题采用排序算法进行排序即可
-
将边添加到最小生成树中时，怎么样 判断是否形成了回路。
处理方式是：记录顶点在 最小生成树 中的终点，顶点的终点是 在最小生成树中与它连通的最大顶点。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断回路？
在将 E,F、 C,D D,E 加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
- C 的终点是 F。
- D 的终点是 F。
- E 的终点是 F。
- F 的终点是 F。
终点的说明：（备注：光看这个没有接触过该算法的不明白，在代码后面有详细的解释）
-
就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是 与它连通的最大顶点。
难道是说 CD、DE、EF 他们是一条线，从小到大，所以他们的终点都是 F?
-
因此，接下来，虽然
C,E是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将C,E加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点 不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】
代码实现
无向图构建
这里使用上一章的普利姆算法中实现的无向图构建，简单修改下
/**
* 克鲁斯而
*/
public class KruskalCase {
// 不连通的默认值：0 则代表同一个点
int INF = 100000;
/**
* 图：首先需要有一个带权的连通无向图
*/
class MGraph {
int vertex; // 顶点个数
int[][] weights; // 邻接矩阵
char[] datas; // 村庄数据
int edgeNum; // 共有多少条边
/**
* @param vertex 村庄数量， 会按照数量，按顺序生成村庄，如 A、B、C...
* @param weights 需要你自己定义好那些点是连通的，那些不是连通的
*/
public MGraph(int vertex, int[][] weights) {
this.vertex = vertex;
this.weights = weights;
this.datas = new char[vertex];
for (int i = 0; i < vertex; i++) {
// 大写字母 A 从 65 开始
datas[i] = (char) (65 + i);
}
// 计算有多少条边
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
/*
A B C D E F G
A 0 12 100000 100000 100000 16 14
B 12 0 10 100000 100000 7 100000
j = i + 1：比如:
i=0,j=1, 那么就是 A,B 从而跳过了 A,A
i=1,j=2, 那么就是 B,C 从而跳过了 B,A B,B
那么含义就出来了：跳过双向边的统计，也跳过自己对自己值得为 0 的统计
*/
for (int j = i + 1; j < weights.length; j++) {
if (weights[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void show() {
System.out.printf("%-8s", " ");
for (char vertex : datas) {
// 控制字符串输出长度：少于 8 位的，右侧用空格补位
System.out.printf("%-8s", vertex + " ");
}
System.out.println();
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
System.out.printf("%-8s", datas[i] + " ");
for (int j = 0; j < weights.length; j++) {
System.out.printf("%-8s", weights[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
@Test
public void mGraphTest() {
int[][] weights = new int[][]{
// A B C D E F G
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 07, INF, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, INF}
};
MGraph mGraph = new MGraph(7, weights);
mGraph.show();
System.out.printf("共有 %d 条边", mGraph.edgeNum);
}
}
测试输出
A B C D E F G
A 0 12 100000 100000 100000 16 14
B 12 0 10 100000 100000 7 100000
C 100000 10 0 3 5 6 100000
D 100000 100000 3 0 4 100000 100000
E 100000 100000 5 4 0 2 8
F 16 7 100000 100000 2 0 9
G 14 100000 100000 100000 8 9 100000
共有 12 条边
克鲁斯卡尔算法实现
// 不连通的默认值：0 则代表同一个点
int INF = 100000;
/**
* 图：首先需要有一个带权的连通无向图
*/
class MGraph {
int vertex; // 顶点个数
int[][] weights; // 邻接矩阵
char[] datas; // 村庄数据
int edgeNum; // 共有多少条边
/**
* @param vertex 村庄数量， 会按照数量，按顺序生成村庄，如 A、B、C...
* @param weights 需要你自己定义好那些点是连通的，那些不是连通的
*/
public MGraph(int vertex, int[][] weights) {
this.vertex = vertex;
this.weights = weights;
this.datas = new char[vertex];
for (int i = 0; i < vertex; i++) {
// 大写字母 A 从 65 开始
datas[i] = (char) (65 + i);
}
// 计算有多少条边
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
/*
A B C D E F G
A 0 12 100000 100000 100000 16 14
B 12 0 10 100000 100000 7 100000
j = i + 1：比如:
i=0,j=1, 那么就是 A,B 从而跳过了 A,A
i=1,j=2, 那么就是 B,C 从而跳过了 B,A B,B
那么含义就出来了：跳过双向边的统计，也跳过自己对自己值得为 0 的统计
*/
for (int j = i + 1; j < weights.length; j++) {
if (weights[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void show() {
System.out.printf("%-8s", " ");
for (char vertex : datas) {
// 控制字符串输出长度：少于 8 位的，右侧用空格补位
System.out.printf("%-8s", vertex + " ");
}
System.out.println();
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
System.out.printf("%-8s", datas[i] + " ");
for (int j = 0; j < weights.length; j++) {
System.out.printf("%-8s", weights[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
/**
* 将无向图中的边 转换成对象数组
*
* @param graph
* @return
*/
public Edata[] convertEdatas(MGraph graph) {
Edata[] datas = new Edata[graph.edgeNum];
int[][] weights = graph.weights;
char[] vertexs = graph.datas;
int index = 0;
for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < weights.length; j++) {
if (weights[i][j] != INF) {
datas[index++] = new Edata(vertexs[i], vertexs[j], weights[i][j]);
}
}
}
return datas;
}
/**
* 将边按权值从小到大排序
*
* @param edata
*/
public void sort(Edata[] edata) {
Arrays.sort(edata, Comparator.comparingInt(o -> o.weight));
}
//算法主体
public Edata[] kruskal(MGraph mGraph, Edata[] edatas) {
// 存放结果，数组最大容量为所有边的容量
Edata[] rets = new Edata[mGraph.edgeNum];
int retsIndex = 0;
/*
按照算法思路：
记录顶点在 **最小生成树** 中的终点，顶点的终点是 **在最小生成树中与它连通的最大顶点**。
然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
*/
// 用于存所有的终点：该数组中的内容随着被选择的边增加，终点也会不断的增加
int[] ends = new int[mGraph.edgeNum];//解释：数组下标含义为起点索引，ends[i] 为起点i的终点索引
// 对所有边进行遍历
for (Edata edata : edatas) {
// 获取这条边的两个顶点下标:
// 第一次：E,F -> 4,5
int p1 = getPosition(mGraph.datas, edata.start);
int p2 = getPosition(mGraph.datas, edata.end);
// 获取对应顶点的 终点
/*
第 1 次：E,F -> 4,5
ends = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
m: 获取 4 的终点：ends[4] 为 0，说明此点 还没有一个终点，那么就返回它自己 4
n: 获取 5 的终点：同上
m != n , 选择这一条边。那么此时 E,F -> 4,5 已有边的终点就是 5
ends = [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
终点表中读法： ↑ index=4,value=5 那么表示 4 这个顶点的终点为 5
第 2 次：C,D -> 2,3
ends = [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
m: 获取 2 的终点，ends[2] = 0，说明此点 还没有一个终点，则返回它自己 2
n: 获取 3 的终点
m != n , 选择这一条边。那么此时 C,D -> 2,3 已有边的终点就是 3
ends = [0, 0, 3, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
第 3 次：D,E -> 3,4
ends = [0, 0, 3, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
m: 获取 3 的终点，ends[3] = 0，说明此点 还没有一个终点，则返回它自己 3
n: 获取 4 的终点,!! 前面第一次，已经将 4 的终点 5 放进来了
那么将获取到的终点为 5，getEnd() 还会尝试去获取 5 的终点，发现为 0，则 4 的终点是 5
m != n -> 3 != 5 , 选择这一条边。那么此时 D,E -> 3,4 已有边的终点就是 5
ends = [0, 0, 3, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
*/
int m = getEnd(ends, p1);
int n = getEnd(ends, p2);
//判断终点是否重合
if (m != n) {
ends[m] = n;
rets[retsIndex++] = edata;
}
}
return rets;
}
/**
* 获取该顶点的：终点
* 这个算法值得好好想想，下面有解析
* @param ends
* @param vertexIndex
* @return
*/
private int getEnd(int[] ends, int vertexIndex) {
int temp = vertexIndex;
while (ends[temp] != 0) {
temp = ends[temp];
}
return temp;
}
/**
* 获取此顶点的下标
*
* @param vertexs
* @param vertex
* @return
*/
private int getPosition(char[] vertexs, char vertex) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == vertex) {
return i;
}
}
return 0;
}
/**
* 描述一条边
*/
class Edata {
// 一条边的开始和结束，比如 A,B
char start;
char end;
int weight; // 这条边的权值
public Edata(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return start + "," + end + " [" + weight + "]";
}
}
@Test
public void kruskalTest() {
int[][] weights = new int[][]{
// A B C D E F G
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 07, INF, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, INF}
};
MGraph mGraph = new MGraph(7, weights);
mGraph.show();
System.out.printf("共有 %d 条边 \n", mGraph.edgeNum);
System.out.println("边数组为：");
Edata[] edatas = convertEdatas(mGraph);
printEdatas(edatas);
System.out.println("排序后的边数组为：");
sort(edatas);
printEdatas(edatas);
Edata[] kruskal = kruskal(mGraph, edatas);
System.out.println("克鲁斯卡尔算法计算结果的边为：");
printEdatas(kruskal);
int total = Arrays.stream(kruskal).filter(item -> item != null).mapToInt(item -> item.weight).sum();
System.out.println("总里程数为：" + total);
}
private void printEdatas(Edata[] edatas) {
for (Edata edata : edatas) {
if (edata == null) {
continue;
}
System.out.println(edata);
}
}
测试输出
A B C D E F G
A 0 12 100000 100000 100000 16 14
B 12 0 10 100000 100000 7 100000
C 100000 10 0 3 5 6 100000
D 100000 100000 3 0 4 100000 100000
E 100000 100000 5 4 0 2 8
F 16 7 100000 100000 2 0 9
G 14 100000 100000 100000 8 9 100000
共有 12 条边
边数组为：
A,B [12]
A,F [16]
A,G [14]
B,C [10]
B,F [7]
C,D [3]
C,E [5]
C,F [6]
D,E [4]
E,F [2]
E,G [8]
F,G [9]
排序后的边数组为：
E,F [2]
C,D [3]
D,E [4]
C,E [5]
C,F [6]
B,F [7]
E,G [8]
F,G [9]
B,C [10]
A,B [12]
A,G [14]
A,F [16]
克鲁斯卡尔算法计算结果的边为：
E,F [2]
C,D [3]
D,E [4]
B,F [7]
E,G [8]
A,B [12]
总里程数为：36
获取一个点的终点解释
/**
* 获取该顶点的：终点
*
* @param ends
* @param vertexIndex
* @return
*/
private int getEnd(int[] ends, int vertexIndex) {
int temp = vertexIndex;
while (ends[temp] != 0) {
temp = ends[temp];
}
return temp;
}
....
int p1 = getPosition(mGraph.datas, edata.start);
int p2 = getPosition(mGraph.datas, edata.end);
int m = getEnd(ends, p1);
int n = getEnd(ends, p2);
if (m != n) {
ends[m] = n;
rets[retsIndex++] = edata;
}
第 1 次：E,F -> 4,5
ends = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
m: 获取 4 的终点：ends[4] 为 0，说明此点 还没有一个终点，那么就返回它自己 4
n: 获取 5 的终点：同上
m != n , 选择这一条边。那么此时 E,F -> 4,5 已有边的终点就是 5
ends = [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
终点表中读法： ↑ index=4,value=5 那么表示 4 这个顶点的终点为 5
第 2 次：C,D -> 2,3
ends = [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
m: 获取 2 的终点，ends[2] = 0，说明此点 还没有一个终点，则返回它自己 2
n: 同理，获取 3 的终点
m != n , 选择这一条边。那么此时 C,D -> 2,3 已有边的终点就是 3
ends = [0, 0, 3, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
第 3 次：D,E -> 3,4
ends = [0, 0, 3, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
m: 获取 3 的终点，ends[3] = 0，说明此点 还没有一个终点，则返回它自己 3
n: 获取 4 的终点,!! 前面第一次，已经将 4 的终点 5 放进来了
那么将获取到的终点为 5，getEnd() 还会尝试去获取 5 的终点，发现为 0，返回 5，则 4 的终点是 5
m != n -> 3 != 5 , 选择这一条边。那么此时 D,E -> 3,4 已有边的终点就是 5
ends = [0, 0, 3, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
从以上的步骤运行来看，这个终点的判定是这样的：
-
E,F -> 4,5由于 终点列表中没有，那么第一条边的 起点 E 的终点就是 F记为：
ends = [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 终点表中读法： ↑ index=4,value=5 那么表示 4 这个顶点的终点为 5
-
C,D -> 2,3
[0, 0, 3, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]选择这一条边后，终点列表中成了上面这样，如何理解？ 看上图：这两条边添加之后，他们并不能连通，所以此时的 ends 列表里面的含义就是这样的：
- 2：3 ， C 的终点是 D，因为这条边暂时没有和其他边连接
- 4：5，E 的终点是 F，因为这条边暂时没有和其他边连接
-
D,E -> 3,4
此时：可以看到，加入我们要选择这条边，那么 DE 就会和 EF 相连，获取边的终点时
[0, 0, 3, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]-
先获取 D 的终点：
ends[3]=0，返回它自己； -
获取 E 的终点时：
edns[4]=5，你会发现，其实 E 它已经和 F 连通了 -
那么此时：往终点列表里面存放的则是 D 的终点是 F，而不是 E （这里可以看到获取终点的算法中的那个循环的妙用了）
ends = [0, 0, 3, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
-
-
最终选择完后的终点列表中的数据为
[6, 5, 3, 5, 5, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0] A B C D E F G 0 1 2 3 4 5 6- A 的终点是 G
- B 的终点是 F → G
- C 的终点是 D → F → G
- D 的终点是 F → G
- E 的终点是 F → G
- F 的终点是 G
选择看明白了吗？它利用这一个数组，对于每次新增的边 和 已经存在的边，计算出，新增加的边的起始点，对应的终点是什么。 当整个最小生成树都完成的时候，他们最终所对应的终点都是一样的。
