数据结构与算法——动态规划算法
应用场景：背包问题
有一个背包，容量为 4 磅，现有物品如下：
| 物品 | 重量 | 价格 |
|---|---|---|
| 吉他(G) | 1 | 1500 |
| 音响(S) | 4 | 3000 |
| 电脑(L) | 3 | 2000 |
要求：
- 达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
- 装入的物品不能重复
介绍
动态规划（Dynamic Programming） 算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法 与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即 下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过 填表的方式 来逐步推进，得到最优解.
思路和图解
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分：
-
01 背包：放入物品不能重复 -
无限背包：放入物品可重复无限背包可以转化成 01 背包。
想要解决一个问题，你首先得有思想，然后转化成公式或规律，最后转化成你的程序。
算法的主要思想：利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i] 和 v[i] 来确定是否需要将该物品放入背包中。即设：
-
n： 给定了 n 个物品 -
w[i]：第 i 个商品的重量 -
v[i]：第 i 个商品的价值 -
c：为背包的容量 -
v[i][j]：表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值假设当前已经放了 i 个物品在背包中，那么当前背包的容量为 j，能够放进去的容量用
v[i][j]表示
则有下面的结果：
v[i][0] = v[0][j]=0- 当
w[i] > j时：v[i][j] = v[i - 1][j] - 当
j ≥ w[i]时：v[i][j] = max{v[i - 1][j] , v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}
以上思路和公式，现在肯定看不懂，下面使用填表法来逐步推导出这个规律和公式。往下看
给定的商品如下：
| 物品 | 重量 | 价格 |
|---|---|---|
| 吉他(G) | 1 | 1500 |
| 音响(S) | 4 | 3000 |
| 电脑(L) | 3 | 2000 |
初始表格为：
| 物品 | 0 磅 | 1 磅 | 2 磅 | 3 磅 | 4 磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 没有物品 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 吉他(G) | 0 | ||||
| 音响(S) | 0 | ||||
| 电脑(L) | 0 |
- 第 1 行：是没有任何物品：那么它在任何背包容量下，都是 0 磅
- 第 1 列：是当背包容量为 0 时，那么它是无法装入任何物品的，所以都是 0
- 现在假如只有吉他可以放：
| 物品 | 0 磅 | 1 磅 | 2 磅 | 3 磅 | 4 磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） |
| 音响(S) | 0 | ||||
| 电脑(L) | 0 |
现在只有一把吉他可以放，所以不管背包的容量有多大，它都只能放一把吉他进去（01 背包），所以 4 个价值都为 1500(G)
- 上面已经放了一把吉他，现在开始尝试放音响：
| 物品 | 0 磅 | 1 磅 | 2 磅 | 3 磅 | 4 磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） |
| 音响(S) | 0 | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） | 3000（S） |
| 电脑(L) | 0 |
-
当背包容量只有 1 磅时：音响重 4 磅，放不进去
那么从上一个单元格复制物品下来，也就是
1500(G)吉他 -
类似的：当背包只有 2、3 磅时，也是放不下音响的
那么从上一个单元格复制物品下来，也就是
1500(G)吉他 -
当背包容量有 4 磅时：可以放下音响了
需要考虑当前音响放进去的价值，是否大于上一个单元格（子问题的解依赖于上一个子问题的解）
这里是 3000 > 1500，那么此时 4 磅的格子中就放入了
3000(S)音响
- 现在开始尝试放电脑：
| 物品 | 0 磅 | 1 磅 | 2 磅 | 3 磅 | 4 磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） |
| 音响(S) | 0 | 1500（G） | 1500（G） | 1500（G） | 3000（S） |
| 电脑(L) | 0 | 1500（G） | 1500（G） | 2000（L） | 2000（L）+ 1500（G） |
-
当背包容量只有 1、2 磅时：电脑重量 3 磅，放不进去
那么从上一个单元格复制物品下来，也就是
1500(G)吉他 -
当背包容量只有 3 磅时：可以放下电脑了
需要考虑当前电脑放进去的价值，是否大于上一个单元格。
2000 > 1500，那么就放入
2000(L)电脑。 -
当背包容量只有 4 磅时：此时如果不考虑程序实现，人为填表的话
可以放
2000（L）+ 1500（G）的电脑和吉他，这样价值就是最大化了
表填完，结合上面的步骤，下面再来看公式的含义：
-
v[i][0] = v[0][j]=0表示表中的第一行和第一列是 0；
i：表示商品
j：表示当前背包的容量 ，例如： j = 0 ，则背包容量就是 0 磅
那么
v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值比如
v[i][j]→v[2][1]，也就是下图中红框部分，在 1 磅的背包容量中，可选择放入的商品有吉他和音响，那么此时背包中可放入商品的最大价值为 1500，也就是只能放入一把吉他
-
当
w[i] > j时：v[i][j] = v[i-1][j]w[i]是第 i 个商品的重量，j 是当前背包的容量。当要放入的第 i 个商品的重量大于 当前背包的容量时，表示不能把当前的商品放入，则直接使用上一个单元格的装入策略
-
当
j ≥ w[i]时：v[i][j] = max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}
当当前背包容量可以装入第 i 个商品的时候：
-
v[i - 1][j]：上一个格子 的商品存放策略 总价值当前背包重量为
j=4，商品下 i 为3上一个格子的商品存放策略总价值
v[3-1][4] = v[2][4]也就是3000(S) -
v[i]：当前商品的价值也就是
v[3]电脑的价值为 2000 -
[j - w[i]：当前背包的重量-第 i 个商品的重量，也就是 剩余背包容量比如上图红框中：当前背包重量为 4，当前尝试放入的商品重量是电脑的重量为 3，则
4-3 = 1，当前商品存放之后，还剩余 1 磅的背包可以装东西 -
v[i - 1][j - w[i]] + v[i]： 剩余空间商品总价值 + 当前商品总价值v[3-1][4-3] + v[3] = v[2][1] + v[3]也就是：v[2][1]：1500(G)，剩余空间放置的商品价值v[3]：2000(L) ，当前商品所占的价值
-
max{v[i - 1],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}也就是
max(3000,1500+2000)结果为 3500
上述步骤推导下来，就是上面红框中的结果。即：
j ≥ w[i]：当前背包存放地 i 个商品后，还有剩余空间容量v[i][j] = max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}：当前格子价值 =max(上一个格子存放商品的总价值,剩余空间商品总价值+当前商品总价值)
-
好了，那么对于这个公式，由填表法推导出来的，为什么需要 没有物品 和 0 磅 来占位？
在公式计算中，如 j - w[i] → 4-w[3]
- j 表示当前的背包容量，也是数组中的下标，如上：4 表示第 4 列，是容量为 4 磅的背包
w[i]中的 i 表示是第几个商品，w[3]，表示第 3 行，也就是电脑这个商品，的重量是 3
所以，纯粹只是为了对应。
代码实现
/**
* 动态规划
*/
public class KnapsackProblem {
/**
* 填表法：输出填表后的信息
*/
@Test
public void table() {
// 商品价值和重量前面都有一个 0 ，方便后续的公式写法
int[] val = {0, 1500, 3000, 2000}; // 商品价值
int[] w = {0, 1, 4, 3}; // 商品对应重量
int m = 4; // 背包容量
int n = val.length; // 物品个数
// 构建初始表格， +1 是因为有一行列和行都是 0
// v[i][j] 存放的是：前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n][m + 1];
// 1. 初始化 v[i][0] = v[0][j]=0
// 本程序中，可以不初始化，默认就是 0
// 为了体现步骤，进行初始化（有可能在你的场景中有其他的含义）
// 为了与默认值 0 区分开，看出初始化效果，这里默 0 定义为 -1
// 验证之后，修改回 0，否则在计算上一个格子的时候，就会导致计算错误
int zero = 0;
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
v[i][0] = zero; // 初始化第一列为 0
v[0][i] = zero; // 初始化第一行为 0
}
}
print(v);
// 开始填表：动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) { // 第一行 0 不处理，从 1 开始
// 一个商品一个容量进行尝试
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 第一列 0 不处理，从 1 开始
// 当当前物品重量大于，背包限定重量时：
// 当前背包容量，可存放最大的商品价值为：前一格子中的存放策略总价值
if (w[i] > j) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
// 当当前背包容量 大于 当前物品重量时：
// 说明：还有空余空间存放其他产品
else {
// max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}`
int pre = v[i - 1][j]; // 前一个格子中存放策略总价值
int curr = val[i]; // i当前商品总价值
int free = v[i - 1][j - w[i]]; // 存放完当前商品后，剩余空间能存放的总价值
// 当前格子：只会存放比上一个格子总价值大的策略价值
v[i][j] = Math.max(pre, curr + free);
}
}
}
System.out.println("动态规划后");
print(v);
}
/**
* 打印填表信息
*
* @param table
*/
private void print(int[][] table) {
for (int i = 0; i < table.length; i++) {
System.out.println(Arrays.toString(table[i]));
}
}
}
测试输出
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
动态规划后
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1500, 1500, 1500, 1500]
[0, 1500, 1500, 1500, 3000]
[0, 1500, 1500, 2000, 3500]
这里只是把表中最大价值，规划出来了，但是不知道那个格子中，存放的是什么商品。
/**
* 填表法：输出填表后的信息,包括最优存放的商品信息
*/
@Test
public void tableAndProduct() {
// 商品价值和重量前面都有一个 0 ，方便后续的公式写法
int[] val = {0, 1500, 3000, 2000}; // 商品价值
int[] w = {0, 1, 4, 3}; // 商品对应重量
int m = 4; // 背包容量
int n = val.length; // 物品个数
// 构建初始表格， +1 是因为有一行列和行都是 0
// v[i][j] 存放的是：前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n][m + 1];
int zero = 0;
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
v[i][0] = zero; // 初始化第一列为 0
v[0][i] = zero; // 初始化第一行为 0
}
}
print(v);
// 用于存放每个格子中保存的商品
int[][] path = new int[n][m + 1];
// 开始填表：动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) { // 第一行 0 不处理，从 1 开始
// 一个商品一个容量进行尝试
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 第一列 0 不处理，从 1 开始
// 当当前物品重量大于，背包限定重量时：
// 当前背包容量，可存放最大的商品价值为：前一格子中的存放策略总价值
if (w[i] > j) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
// 当当前背包容量 大于 当前物品重量时：
// 说明：还有空余空间存放其他产品
else {
// max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}`
int pre = v[i - 1][j]; // 前一个格子中存放策略总价值
int curr = val[i]; // i当前商品总价值
int free = v[i - 1][j - w[i]]; // 存放完当前商品后，剩余空间能存放的总价值
// 当前格子：只会存放比上一个格子总价值大的策略价值
// v[i][j] = Math.max(pre, curr + free);
// 当需要存放新的策略时，标记当前路径
if (pre < curr + free) {
v[i][j] = curr + free;
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = pre;
}
}
}
}
System.out.println("动态规划后");
print(v);
System.out.println("存放路径");
print(path);
System.out.println("提取最优商品存放信息");
int i = path.length - 1; // 行的最大下标
int j = path[0].length - 1; // 列的最大下标
// 从 path 最后开始往前找
while (i > 0 && j > 0) {
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第 %d 个商品放入背包，坐标[%d,%d] \n", i, i, j);
// 当前格子商品组成为：当前商品重量 + 剩余重量
// 所以：要重置 j 为剩余重量
j = j - w[i];
}
i--; // 找完一行，则减少一行，往前面找
}
}
/**
* 打印填表信息
*
* @param table
*/
private void print(int[][] table) {
for (int i = 0; i < table.length; i++) {
System.out.println(Arrays.toString(table[i]));
}
}
测试输出
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
动态规划后
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1500, 1500, 1500, 1500]
[0, 1500, 1500, 1500, 3000]
[0, 1500, 1500, 2000, 3500]
存放路径
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 1]
[0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, 1]
# 上面的存放路径为：
# 1 的则表示，在那个格子里面存放了自己的商品进去的
# 0 的则表示，当前的商品无法存入到这个背包中，使用的是前一个格子的商品存放策略
提取最优商品存放信息
第 3 个商品放入背包，坐标[3,4]
第 1 个商品放入背包，坐标[1,1]
然后看存入商品的信息的坐标，价值是 3500：
- 首先把 电脑 2000 存入进去，剩余重量只有 1 了
- 那么就去找背包重量为 1 的格子，限定在第 1 列上面了，那么就只有 1,1 符合，也就定位了商品
封装成函数后，任意测试
// 封装成方法，测试更多的商品
@Test
public void tableAndProduct2() {
int[] val = {0, 1500, 3000, 2000, 200}; // 商品价值
int[] w = {0, 1, 4, 3, 1}; // 商品对应重量
int m = 5; // 背包容量
knapsackProblem(val, w, m);
}
/**
* 背包问题：动态规划
*
* @param val 商品价值，第 0 个为没有商品
* @param w 商品重量，第 0 个为没有重量
* @param m 背包容量
*/
public void knapsackProblem(int[] val, int[] w, int m) {
// 商品价值和重量前面都有一个 0 ，方便后续的公式写法
int n = val.length; // 物品个数
// 构建初始表格， +1 是因为有一行列和行都是 0
// v[i][j] 存放的是：前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n][m + 1];
int zero = 0;
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
v[i][0] = zero; // 初始化第一列为 0
v[0][i] = zero; // 初始化第一行为 0
}
}
print(v);
// 用于存放每个格子中保存的商品
int[][] path = new int[n][m + 1];
// 开始填表：动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) { // 第一行 0 不处理，从 1 开始
// 一个商品一个容量进行尝试
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 第一列 0 不处理，从 1 开始
// 当当前物品重量大于，背包限定重量时：
// 当前背包容量，可存放最大的商品价值为：前一格子中的存放策略总价值
if (w[i] > j) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
// 当当前背包容量 大于 当前物品重量时：
// 说明：还有空余空间存放其他产品
else {
// max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + v[i]}`
int pre = v[i - 1][j]; // 前一个格子中存放策略总价值
int curr = val[i]; // i当前商品总价值
int free = v[i - 1][j - w[i]]; // 存放完当前商品后，剩余空间能存放的总价值
// 当前格子：只会存放比上一个格子总价值大的策略价值
// v[i][j] = Math.max(pre, curr + free);
// 当需要存放新的策略时，标记当前路径
if (pre < curr + free) {
v[i][j] = curr + free;
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = pre;
}
}
}
}
System.out.println("动态规划后");
print(v);
System.out.println("存放路径");
print(path);
System.out.println("提取最优商品存放信息");
int i = path.length - 1; // 行的最大下标
int j = path[0].length - 1; // 列的最大下标
// 从 path 最后开始往前找
while (i > 0 && j > 0) {
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第 %d 个商品放入背包，坐标[%d,%d] \n", i, i, j);
// 当前格子商品组成为：当前商品重量 + 剩余重量
// 所以：要重置 j 为剩余重量
j = j - w[i];
}
i--;
}
}
输出信息
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
动态规划后
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1500, 1500, 1500, 1500, 1500]
[0, 1500, 1500, 1500, 3000, 4500]
[0, 1500, 1500, 2000, 3500, 4500]
[0, 1500, 1700, 2000, 3500, 4500]
存放路径
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 1, 1]
[0, 0, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0]
提取最优商品存放信息
第 2 个商品放入背包，坐标[2,5]
第 1 个商品放入背包，坐标[1,1]
最终可以看到，需要根据它的存入路径来查找，比如：
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 1, 1]
[0, 0, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0]
- 先把第一行（有第 0 行）也就是第一个商品，尝试放到不同容量的背包中
- 然后尝试把剩余的商品挨个放到背包中，最重要的是：基于前面已经放过的结果，判定是否可以放进去
- 基于前面的结果：
- 可以放进去：表示容量至少能放进当前这个产品，路径中用 1 表示
- 不可放进去：表示容量不能放进去当前这个产品，路径中用 0 表示
- 那么再基于最后的价值最高的，找到放进去过产品的路径，就完成了。
