softmax回归

softmax回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签$y$可以取两个以上的值，softmax回归是有监督的。

在logistic回归中，预测函数为：

$h_{\Theta}(x) = \frac{1}{1 + exp(-\Theta^Tx)}$

损失函数为

$J(\Theta) = - \frac{1}{m}[\sum^m_{i=1}y^{(i)}logh_{\Theta}(x^{(i)}) + (1 - y^{(i)})log(1 - h_{\Theta}(x^{i}))]$

在softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于logistic回归解决的二分类问题），y可以取k个不同的值，我们想估计x的每一种分类结果出现的概率。对于给定的输入x，预测函数输出一个k维的向量来表示这k个估计的概率值。

预测函数为：

其中$\Theta_1,\Theta_2,...,\Theta_k$是模型的参数，$\frac{1}{\sum^k_{j=1}e^{\Theta^T_jx^{(i)}}}$对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为1.

记 1{ 值为真的表达式 } = 1，1{ 值为假的表达式 } = 0.则softmax回归的损失函数为

上述公式是logistic回归损失函数的推广，logistic回归损失函数可以改为

\begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}

在softmax回归中将x分类为类别j的概率为：

p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }

对于$J(\Theta)$的最小化问题，目前还没有闭式解法。使用迭代的优化算法(梯度下降或L-BFGS等)，经过求导，可得到损失函数关于参数的梯度。

softmax回归模型参数化的特点：

假设我们从参数向量$\Theta_j$中减去了向量$\Psi$，则预测函数变为：

\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}

显然，从$\Theta_j$中减去$\Psi$完全不影响预测函数的预测结果，这表明前面的softmax回归模型中存在冗余的参数，即softmax模型被过度参数化了。

进一步而言，如果参数 \textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k) 是代价函数 \textstyle J(\theta) 的极小值点，那么 \textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi) 同样也是它的极小值点，其中 \textstyle \psi 可以为任意向量。因此使 \textstyle J(\theta) 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于$J(\Theta)$仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 \textstyle \psi = \theta_1时，我们总是可以将$\Theta_1$替换为$\Theta_1 - \Psi = 0_{->}$（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $\Theta_1$（或者其他 $\Theta_j$中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 $k * (n + 1)$个参数 ，我们可以令\textstyle \theta_1 = \vec{0} ，只优化剩余的  $(k - 1) * (n + 1)$个参数，这样算法依然能够正常工作。（其中n +１是$\Theta_j$的维度）

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 \textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

我们通过添加一个权重衰减项 \textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

  \begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}

有了这个权重衰减项以后 (\textstyle \lambda > 0)，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为\textstyle J(\theta)是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

 

softmax回归与logistic回归的关系：

当类别数 \textstyle k = 2 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 \textstyle k = 2 时，softmax 回归的预测函数为：

\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 \textstyle \psi = \theta_1，并且从两个参数向量中都减去向量 \textstyle \theta_1，得到:

\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}

因此，用 \textstyle \theta'来表示\textstyle \theta_2-\theta_1，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 \textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }，另一个类别概率的为 \textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }，这与 logistic回归是一致的。

softmax回归 vs k个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

 

参考：

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_entropy#Motivation   logistic回归的损失函数既可以由最大似然估计推出，也可由交叉熵推出

 

 

posted @ 2017-03-13 13:26  合唱团abc  阅读(332)  评论(0)  编辑  收藏  举报