leetcode 1000. 合并石头的最低成本（区间dp）

题意：

有 N 堆石头排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 块石头。

每次移动（move）需要将连续的 K 堆石头合并为一堆，而这个移动的成本为这 K 堆石头的总数。

找出把所有石头合并成一堆的最低成本。如果不可能，返回 -1 。

 

示例 1：

输入：stones = [3,2,4,1], K = 2
输出：20
解释：
从 [3, 2, 4, 1] 开始。
合并 [3, 2]，成本为 5，剩下 [5, 4, 1]。
合并 [4, 1]，成本为 5，剩下 [5, 5]。
合并 [5, 5]，成本为 10，剩下 [10]。
总成本 20，这是可能的最小值。

示例 2：

输入：stones = [3,2,4,1], K = 3
输出：-1
解释：任何合并操作后，都会剩下 2 堆，我们无法再进行合并。所以这项任务是不可能完成的。

示例 3：

输入：stones = [3,5,1,2,6], K = 3
输出：25
解释：
从 [3, 5, 1, 2, 6] 开始。
合并 [5, 1, 2]，成本为 8，剩下 [3, 8, 6]。
合并 [3, 8, 6]，成本为 17，剩下 [17]。
总成本 25，这是可能的最小值。

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 2 <= K <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

 

思路：

首先有解的条件为(n-1)%(K-1)==0

 

dp[i][j][k]表示把 第i堆石头到第j堆石头合并为k堆的最小代价（初始化dp[i][i][1]=0，显然，在执行过程中dp[i][j][j-i+1]都为0）

 

我们可以枚举中间点m，把左边分为k-1堆，把右边分为1堆

 

那么我们有： dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i][m][k-1] + dp[m+1][j][1])

 

为什么不能是左边k-2堆，右边2堆呢？考虑右边合并为两堆，那么我们可以找一个点，划到左边，就还是左边k-1堆，右边1堆啦，所以其他所有的情况实际上都已经被 左边k-1堆，右边1堆覆盖了。

 

还有一个方程就是dp[i][j][1] = dp[i][j][K] + sum[j] - sum[i-1]，注意是大写的K，就是说如果有K堆了，那么我们可以把它们合并为一堆，代价为这些石头的总和。

class Solution {
public:
    int dp[50][50][50],pre[50];
    int mergeStones(vector<int>& stones, int K) {
        int n=stones.size();
        if((n-K)%(K-1))return -1;
        memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            dp[i][i][1]=0;
            pre[i]=pre[i-1]+stones[i-1];
        }
        for(int len=2;len<=n;len++){
            for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
                int j=i+len-1;
                for(int m=i;m<j;m++){
                    for(int k=2;k<=len;k++){
                        dp[i][j][k]=min(dp[i][j][k],dp[i][m][k-1]+dp[m+1][j][1]);
                    }
                }
                dp[i][j][1]=min(dp[i][j][1],dp[i][j][K]+pre[j]-pre[i-1]); //如果dp[l][r][K]不存在，那么也就是说明不能把[l,r]这一段区间合成一段
            }
        }
        return dp[1][n][1];
    }
};