GCD（洛谷 2568）

题目描述

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

输入格式

一个整数N

输出格式

答案

输入输出样例

输入 #1

4

输出 #1

4

说明/提示

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

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 由题意得：gcd(x,y)=p（这里我们假设p为一个已知的质数），并且下面的过程都在这个条件下进行，我们不妨设x<=y<=n。

令x=a*p，y=b*p，则有gcd(a,b)=1，且1<=a,b<=n/p。同样不妨设a<=b（☚什么情况下会等于后面有讲到）。

那么满足gcd(x,y)=p的数对(x,y)个数其实就是满足gcd(a,b)=1的数对个数(a,b)。（下面用num(x,y)来表示满足gcd(x,y)=p的数对(x,y)个数，num(a,b)同理）

对于b来说，b的取值范围是1~n/p，而a的取值可以是φ(b)中的任意一个，所以num(x,y)=num(a,b)=∑φ(b)（b∈[1,n/p]），简单来说，就是1~n/p中所有数的欧拉函数值的和

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 好，代码已经成功一大半了，但是现在我们并没有p的准确值，p可能是1~n中的任意一个质数。所以我们可以在预处理中先把1~n中的质数（p1、p2……）全部找出来，最后一一枚举这些质数，每枚举一个p，就处理 当gcd(x,y)等于此时的p 的时候的num(x,y)，加到最后输出的结果ans中

代码实现：首先，我们用线性筛法求出1~n中每个数的欧拉函数值，用一个数组sum（注意要开long long）来存欧拉函数值的前缀和，方便后面查找值。

其实可以这样理解，sum[i]存的就是1~i中所有数的欧拉函数值的和，也就是上面讲到的num(x,y)

那么最后枚举1~n中的质数，每一次循环都得到了一个n/p值，即b的上界，那么此时的sum[n/p]*2-1就是满足gcd(x,y)=p的(x,y)的对数。

解释一下：由样例可得，(2,4)和(4,2)是不同的两种答案，所以x,y可以交换位置得到一个新的答案，所以sum[n/p]要*2,；但是当a=b=1，即x=y=p时，只有一种答案，所以sum[n/p]*2需要再-1，将重复的删去。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10000005;
int n;
ll sum[N],vis[N],p[N],phi[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    vis[0]=vis[1]=false;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;//记得找出质数
        for(int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[p[j]*i]=false;
            if(i%p[j])phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
            else 
            {
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
                break;
            }
        }//线性筛法
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];//前缀和
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=p[0]&&p[i]<=n;i++)//枚举1~n中的所有质数
        ans+=(sum[n/p[i]]<<1)-1;//sum[n/p]*2-1
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

写这篇题解的时候思维比较混乱，我都不知道该如何组织语言了，花了超长时间的！希望能让你理解吧OvO

如果可以的话，给个“推荐”资瓷一下吧(*^▽^*)

//参考：zhou_yk 的博客