【NOI2002】荒岛野人(信息学奥赛一本通 1637)(洛谷 2421)
题目描述
克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人,一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中,以后每年,第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。
每个野人i有一个寿命值Li,即生存的年数。
下面四幅图描述了一个有6个山洞,住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1,2,3;每年要走过的洞穴数依次为3,7,2;寿命值依次为4,3,1。
奇怪的是,虽然野人有很多,但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中,使得小岛一直保持和平与宁静,这让科学家们很是惊奇。他们想知道,至少有多少个山洞,才能维持岛上的和平呢?
输入格式
第1行为一个整数N(1<=N<=15),即野人的数目。
第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 ),表示每个野人所住的初始洞穴编号,每年走过的洞穴数及寿命值。
输出格式
仅包含一个数M,即最少可能的山洞数。输入数据保证有解,且M不大于10^6。
输入输出样例
输入 #1
3 1 3 4 2 7 3 3 2 1
输出 #1
6
说明/提示
对于50% 的数据:N 的范围是[1…1,000]。
对于另外50% 的数据:N 的范围是[1…100,000]。
对于100% 的数据:C 的范围是[1…1,000,000,000],N 个整数中每个数的范围是:[0…1,000,000,000]。
其实这道题的做法还是比较暴力的,以有野人的居住的山洞的最大编号作为初始的山洞数,从这里开始搜索:如果此时的山洞数符合条件就直接输出,否则山洞数加一。至于判断的过程,就是很暴力的枚举任意两个野人。我们假设经过若干年后有两个野人处在了同一个山洞中,设i,j为野人编号,m为此时判断的山洞数,x为经过了多少年。那么就很容易得到
c[i]+x*p[i]≡c[j]+x*p[j](mod m)
稍稍变形得
(p[i]-p[j])*x≡c[j]-c[i](mod m)
那这不就是一个简单的线性同余方程嘛!
接下来就好办多了,用拓展欧几里得算法解出x,若无解(即c[j]-c[i]不是gcd(p[i]-p[j],m)的整数倍),那就说明这个山洞数满足“没有任何两个野人处在同一个山洞中”的条件,继续枚举其他野人;若有解,那还要再分两种情况:
-
解得的x>min(l[i],l[j]),即此时两个野人至少已经die了一个了,那么活野人和死野人处不处在同一个山洞已经无所谓了,不碍事,继续枚举!
-
解得的x<=min(l[i],l[j]),那没办法,两个野人都活着,却还处在同一个山洞里,说明这个山洞数不符题意,直接返回false。
然鹅这道题还不能就这样轻易的AC掉,注意:由于p[i]-p[j]有可能为负,所以gcd(p[i]-p[j],m)也有可能为负,那么在拓展欧几里得算法中求解x时,一定要注意将m/(gcd(m,p[i]-p[j]))带上abs()!
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N=16; 4 int n,Max; 5 int c[N],l[N],p[N]; 6 inline int read() 7 { 8 int x=0,f=1; 9 char ch=getchar(); 10 while(ch<'0'||ch>'9') 11 { 12 if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); 13 } 14 while(ch>='0'&&ch<='9') 15 { 16 x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); 17 } 18 return x*f; 19 } 20 inline int max(int a,int b) 21 { 22 return a>b ?a:b; 23 } 24 inline int min(int a,int b) 25 { 26 return a<b ?a:b; 27 } 28 void print(int x) 29 { 30 if(x<0){putchar('-');x=-x;} 31 if(x>9) print(x/10); 32 putchar(x%10+'0'); 33 } 34 int gcd(int x,int y) 35 { 36 if(y==0) return x; 37 else return gcd(y,x%y); 38 } 39 void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) 40 { 41 if(!b){x=1;y=0;d=a;} 42 else 43 { 44 exgcd(b,a%b,d,x,y); 45 int t=x;x=y;y=t-a/b*y; 46 } 47 }//拓展欧几里得算法 48 inline bool judge(int m) 49 { 50 int a,b,C,x,y,d; 51 for(int i=1;i<=n;i++) 52 { 53 for(int j=i+1;j<=n;j++) 54 { 55 a=p[i]-p[j];b=m;C=c[j]-c[i]; 56 if(C%gcd(a,b)!=0) continue;//若无解 57 exgcd(a,b,d,x,y); 58 x=((x*C/d)%(abs(b/d))+abs(b/d))%(abs(b/d));//注意abs() 59 if(x<=min(l[i],l[j])) return false;//若不符题意则直接返回false 60 } 61 } 62 return true;//当所有野人都枚举完后再返回true 63 } 64 int main() 65 { 66 n=read(); 67 for(int i=1;i<=n;i++) 68 { 69 c[i]=read();p[i]=read();l[i]=read(); 70 Max=max(Max,c[i]);//有野人居住的山洞的最大编号 71 } 72 for(int i=Max;;i++) 73 { 74 if(judge(i)) 75 { 76 print(i); 77 puts(""); 78 break; 79 } 80 } 81 return 0; 82 }