同余问题1（超详细！！！）

同余基本概念

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剩余系

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欧拉函数

欧拉函数φ(n)表示1~n中所有与n互质的数。比如1~8中与8互质的数有1,3,5,7，所以φ(8)=4。

公式1：如果p是素数，有φ(p)=p-1。 

公式2（积性）：如果(a,b)=1，有φ(a*b)=φ(a)*φ(b)，

--->以下是公式二的证明过程

设模a的一个简系为a1,a2,a3,…,aφ(a)，模b的一个简系为b1,b2,b3,…,bφ(b) 现在我们要证明：所有ai∗b+bj∗a（共φ(a)*φ(b)个）组成了模a*b的一个简系（即φ(a*b)=φ(a)*φ(b)）。 判定简系需要证明下面三点：

1. (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。

2. ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)

3. 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)（即没有遗漏）

证明1：  (ai∗b+bj∗a,a∗b)=1。

因为(a,ai)=1,(a,b)=1，所以(a,ai*b)=1，由辗转相除法可得(a,ai*b+bj*a)=(a,ai*b)=1，同理得(b,ai*b+bj*a)=1。 所以1得证。

证明2：  ai∗b+bj∗a≢ak∗b+bt∗a(mod a∗b)(i!=k或j!=t)

证明3： 对于任意k满足(k,a*b)=1,则一定有k≡ai∗b+bj∗a(mod a∗b)

所以φ(n)是积性函数（但不是完全积性，因为要满足(a,b)=1）。 有了这个公式，就可以推得欧拉函数的通项公式。

又因任意两个p互质（没有共同质因子），

所以：

公式4：欧拉函数的通项公式

由

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求欧拉函数值

1.如果只求φ(n)，唯一分解 那么我们就直接将n唯一分解处理出每一个n的素数，然后用通项公式就行了。 效率：O(√n) 

2、如果要求φ(1~n) 用唯一分解就比较慢了，所以我们可以用筛法求出φ(1~n)，原理和筛素数是一样的。普通筛法用到的是通项公式，而线性筛法用到公式1、公式2（积性）和公式3。

普通筛法代码：

线性筛法代码：

解释一下上面代码make_phi函数里的第一个循环（下图中的x即循环中的i）

这里附几道求欧拉函数值的习题：

洛谷 P2303 [SDOi2012]Longge的问题

--->题解

洛谷 P2568 GCD

--->题解

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 模运算

【同余的几个性质】

性质1：a≡a（mod m），（自反性）

性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）

性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m）=>a≡c（mod m）（传递性）

性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）

证明：设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则(a±c)%m=(A±C)，(b±d)%m=(A±C)即a±c≡b±d（mod m）

性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）

证明：设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则ac=( A+Ka*m)( C+Kc*m),bd=( A+Kb*m)( C+Kd*m)所以ac%m=AC bd%m=AC即ac≡bd（mod m）

性质6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m）（其中n为自然数）

证明：由性质1和性质5得。

性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m）

证明：ac≡bc（mod m）=>c(a-b)≡0（mod m）=>c%m*(a-b)%m=0 =>m|c或m|(a-b)又因为(m,c)=1.所以m|(a-b)即a≡b（mod m）

性质8：若a≡b（mod m），那么a^t≡b^t（mod m）

证明：由性质5得。

性质9：若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2)…. a≡b(mod mk) 则 a≡b(mod [m1,m2……mk])

证明：由题意得mi|(a-b) （1<=i<=k）即(a-b)是mi的公倍数，所以[m1,m2……mk]|(a-b)即a≡b(mod [m1,m2……mk])

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欧拉定理

若正整数a、n互素，有：

消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

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费马小定理 

若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^(p-1) ≡ 1 mod p。

证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

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欧拉定理的推论

 

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扩展欧几里得算法

欧几里得定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

定理1：如果a、b是不全为0的整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。

对于线性同余方程

可以改写成ax+ny=b的形式

如何求解 （以下讨论a>b）：

当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；（特解）

当a>b>0 时 设 ax1+ by1= gcd（a，b）；

bx2+ （a mod b）y2= gcd（b，a mod b）；

根据欧几里德原理有 gcd（a，b） = gcd（b，a mod b）；

则：ax1+ by1= bx2+ （a mod b）y2；

即：ax1+ by1= bx2+ （a - [a / b] * b）y2 = ay2+ bx2- [a / b] * by2；

（a mod b = a - [a / b]*b；[a / b]为a整除b） 也就是ax1+ by1 = ay2 + b（x2- [a / b] *y2）；

根据恒等定理得：x1=y2；y1=x2- [a / b] *y2；

这样就得到了求解 x1，y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2 :

引理：

ax+by = z，z为gcd（a，b）若干倍，求方程的解；

先求解ax+by = gcd（a，b），再将求出的解乘以 z/gcd（a，b）就好了。

 

求得了方程ax+by=gcd的一组特解为x0,y0；

通解：

• 如果a,b互质通解为x=x0+b*t, y=y0-a*t;

• 如果a,b不互质通解为x=x0+b/gcd*t, y=y0-a/gcd*t;

最小正整数解：X=(x0%(b/gcd)+b/gcd)%(b/gcd);

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板子题来喽——

[NOIP2012]同余方程（信息学奥赛一本通 1872）

【题目描述】

求关于 x 的同余方程 ax≡1(modb)  的最小正整数解。

【输入】

输入只有一行，包含两个正整数 a,b，用一个空格隔开。

【输出】

输出只有一行，包含一个正整数 x0 ，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

【输入样例】

3 10

【输出样例】

7

 

 

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模意义下乘法的逆元

求逆元

一、使用欧拉定理求逆元（a，m互质）

二、使用扩展欧几里得求逆元（a，m互质）

同余方程ax≡1(mod m)的最小正整数解即为a的逆元

 

线性求逆元：递推法

求1~M模M的所有逆元，M为质数。用快速幂一个个求复杂度O(MlogM) 对于1000000以上级别的素数，有更优秀的求逆元算法，递推式如下：

 

推导过程：设t=M/i , k=M%i

 

对上式两边同时除i*k ，进一步得到

再把t，k替换回来，得到

初始化 inv[1]=1 ，这样就可以通过递推法求出1~M模素数 M的所有逆元了。

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练练手——

Sumdiv（信息学奥赛一本通 1633）

【题目描述】

求 AB 的所有约数之和 mod9901。

【输入】

输入两个整数 A,B。

【输出】

输出答案 mod9901。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

15

 

 别着急，我的博客后面还有同余问题2呢