【题目描述】
原题来自：HackerRank Equations
求不定方程： 1/x + 1/y = 1/n!
的正整数解 (x,y)的数目。
【输入】
一个整数 n。
【输出】
一个整数，表示有多少对 (x,y) 满足题意。答案对 109+7 取模。
【输入样例】
2
【输出样例】
3
【提示】
样例说明
共有三个数对 (x,y) 满足条件，分别是 (3,6),(4,4) 和 (6,3)。
数据范围与提示:
对于 30% 的数据，n≤100；
对于全部数据，1≤n≤106 。
（这里不得不吐糟一下，书上把题目打错了啦，n!写成了n，害得我还以为这道题可以暴力去做，结果光荣的爆零了(▼⊿▼)）
首先呢就是用数学方法把这个不定方程变化一下，令y=n+a（x、y肯定比n大啦，可以自己推导一下），很容易就得到了 x = (n!*n!) / a+ n!
那么因为n!为整数、x也为整数，所以(n!*n!) / a一定也为整数。那要求x的个数的话就是要求满足(n!*n!) / a为整数的a的个数啦
所以说这道题很快就转化成了一道求约数个数的题目。
然后就是唯一分解定理和约数个数定理...
上代码：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int N=1e6+1,M=1e9+7;
4 int a[N],n,v[N],cnt,b[N],num[N];//b[x]表示x的最小质因子是质数中的第几号
5 long long ans=1;
6 int read()
7 {
8 int x=0,f=1;
9 char ch=getchar();
10 while(ch<'0'||ch>'9')
11 {
12 if(ch=='-') f=-1;
13 ch=getchar();
14 }
15 while(ch>='0'&&ch<='9')
16 {
17 x=x*10+ch-'0';
18 ch=getchar();
19 }
20 return x*f;
21 }
22 void write(int x)
23 {
24 if(x<0)
25 {
26 putchar('-');
27 x=-x;
28 }
29 if(x>9) write(x/10);
30 putchar(x%10+'0');
31 }
32 void pre()
33 {
34 for(int i=2;i<=1000000;i++)
35 {
36 if(!v[i])a[++cnt]=i,b[i]=cnt;
37 for(int j=1;j<=cnt&&a[j]*i<=1000000;j++)
38 {
39 v[i*a[j]]=1;b[i*a[j]]=j;
40 if(i%a[j]==0)break;
41 }
42 }
43 }
44 void ff(int x)
45 {
46 while(x!=1)
47 {
48 num[b[x]]++;//num[i]表示i这个序号代表的质因子出现的次数（也就是b[i]的幂的次数啦）
49 x/=a[b[x]];//x不断更新
50 }
51 }
52 int main()
53 {
54
55 n=read();
56 pre();
57 for(int i=2;i<=n;i++)
58 ff(i);
59 for(int i=1;i<=cnt;i++)
60 ans=ans*(num[i]*2+1)%M;
61 printf("%lld",ans);
62 return 0;
63 }
//参考：这位大佬讲的hin好，点击%大佬的博客
