最大子矩阵（信息学奥赛一本通 1224）

【题目描述】

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1×1)子矩阵。

【输入】

输入是一个N×N的矩阵。输入的第一行给出N(0<N≤100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[−127,127]。

【输出】

输出最大子矩阵的大小。

【输入样例】

4

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

【输出样例】

15

---

 

首先，如果这道题暴力搜索矩阵的两个端点，再依次计算矩阵和求最大（大致需要六个循环）在ybt上只能得30分，其余都会TLE

那么，我们在暴力的基础上，给这道题加个小小的优化——前缀和（只需四重循环）：

关于具体的前缀和思想，请看☟☟☟

https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11325425.html

但是嘞，聪明的孩子很快就发现上面的代码有个小漏洞。如果输入全是负数显然ans最终仍为0，不符题意。所以稍稍改动一下ans的初始值就ok啦！

（感谢评论区大佬的提醒orz）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,t[101][101],sum[101][101],ans=-inf;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cin>>t[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+t[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=i;k<=n;k++)
                for(int l=j;l<=n;l++)
                    ans=max(ans,sum[k][l]-sum[i-1][l]-sum[k][j-1]+sum[i-1][j-1]);
    cout<<ans;
    return 0;
    
}

 

虽然这样呢已经可以过了，但是精益求精的好孩子（对就是我没错）是不会就这样算了，我们进一步在前缀和的基础上加上贪心的思想（三重循环）：

这样就感觉肥肠完美 （当然也可能有大佬想出了更加高级的算法）还是当我没说吧...上代码！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[101][101];
int main() 
{
    int n,max=-1;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
            a[i][j]+=a[i][j-1];
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int ans=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
                ans+=a[k][j]-a[k][i];
                if(ans>max)max=ans;
                if(ans<0)ans=0;
            }
        }
    }
    cout<<max;
    return 0;
}