序列变换 HDU - 5256

序列变换 HDU - 5256

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题目

我们有一个数列A1,A2...An，你现在要求修改数量最少的元素，使得这个数列严格递增。其中无论是修改前还是修改后，每个元素都必须是整数。
请输出最少需要修改多少个元素。

input

第一行输入一个T(1≤T≤10)，表示有多少组数据

每一组数据：

第一行输入一个N(1≤N≤105)，表示数列的长度

第二行输入N个数A1,A2,...,An。

每一个数列中的元素都是正整数而且不超过106。

output

对于每组数据，先输出一行

Case #i:

然后输出最少需要修改多少个元素。

Sample Input

2
2
1 10
3
2 5 4

Sample Output

Case #1:
0
Case #2:
1

分析

一开始很容易就想到 \(\mathrm{LIS}\) 。先算出 \(\mathrm{LIS}\) 的长度，然后序列总长度减去 \(\mathrm{LIS}\) 的长度就行了。

但是隐隐间觉得有点不对，留意到题目中的严格递增，就想到了如果连续几个都是相同的怎么办。然后就举出了反例。

例如：1 2 2 2 3 。这个序列的 \(\mathrm{LIS}\) 为 1 2 3。按照上面的的方法算出的答案是 2 。但实际上，我们要修改成 1 2 3 4 5。要修改的个数为 3。

但我们还是想要往 \(\mathrm{LIS}\) 上靠，仔细分析一下，我们修改后的整个数组要满足如下的条件：

\[arr[i + 1] \ge arr[i] + 1 \]

怎么往 \(\mathrm{LIS}\) 上靠呢？\(\mathrm{LIS}\) 最后的式子是不是要满足：

\[a[i + 1] \ge a[i] \]

第一个式子中的 \(1\) 是不是有点碍事，留意到两边其实可以做一个操作：

\[arr[i + 1] - i - 1 \ge arr[i] - i \]

两边都可以减去一个 \(i\) , 那么就可以转化到 \(\mathrm{LIS}\) 的做法了。

再留意到 \(n \le 10^5，T \le 10\) ， \(O(n^2)\) 的复杂度肯定是接受不了，要对朴素的做法进行一些优化。

其实也是一个贪心的做法。我们可以去维护这样一个 \(dp\) 数组。不妨设 \(len\) 为 \(dp\) 数组的长度。在遍历数组 \(arr\) 的时候，有两种情况：

1. \(arr[i] \ge dp[len - 1]\)，把 \(arr[i]\) 加到 \(dp\) 数组的结尾。
2. \(arr[i] < dp[len - 1]\)，二分查找 \(dp\) 数组里，第一个大于 \(arr[i]\) 数字，然后替换成 \(arr[i]\)。

然后，最后 \(len\) 就是 \(\mathrm{LIS}\) 的长度。

看得出来，数组 \(dp\) 本身就在维护一个尽可能长的上升序列，第一个操作很好理解，那么对于第二个操作，由贪心我们可以知道，如果有几个序列，那么序列末尾的数字越小，那么它能成为 \(\mathrm{LIS}\) 的概率越大？所以第二个操作就是不断地在保证它在成为 \(\mathrm{LIS}\)。如果但是如果替换的不是最后一个呢？由于是替换，不是增加或者减小，所以这对于最后的结果并没有影响，所以替换前面的数字并没有影响。（这造成了 \(dp\) 数组并不是 \(\mathrm{LIS}\) )。

所以用二分就能把 \(\mathrm{LIS}\) 优化到 \(O(n \log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define mem(i, a) memset(i, a, sizeof(i))
#define sqr(x) ((x)*(x))
typedef long long ll;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5 + 7;
using namespace std;
int arr[maxn], dp[maxn];
int main(void){
#ifdef ljxtt
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
    int T; scanf("%d", &T);
    int cases = 1;
    while(T--){
        int n; scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%d", &arr[i]);
            arr[i] -= i;
        }
        int len = 0;
        dp[0] = arr[0];
        for(int i = 1; i < n; i++){
            if(arr[i] >= dp[len])
                dp[++len] = arr[i];
            else
                *upper_bound(dp, dp + len + 1, arr[i]) = arr[i];
        }
        printf("Case #%d:\n%d\n", cases++, n - len - 1);
    }
    return 0;
}