oj结题报告 4982踩方格

描述

有一个方格矩阵，矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设：
1. 每走一步时，只能从当前方格移动一格，走到某个相邻的方格上；
2. 走过的格子立即塌陷无法再走第二次；
3. 只能向北、东、西三个方向走；
请问：如果允许在方格矩阵上走n步，共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样，即被认为是不同的方案。

输入

允许在方格上行走的步数n(n <= 20)

输出

计算出的方案数量

样例输入

2

样例输出

7

分析

这道题乍一看没有思路，因为搜索太慢，dp又看不出明显的递推关系。因此我们先用纸笔模拟一下：

不妨尝试分类讨论的思想。用dp[i]表示还剩i步时有的方法，显然dp[0] = 1。因为不能向南走，也不能走原来走过的，对于第一步，只有三种情况：

如果向北走，由于不能向南，下面的格子与后面的走法无关，为dp[i-1]种；如果向东（或西）走，再考虑下一步：

之后的每一步，如果一旦向北走，就被转化为dp[i−2],dp[i−3]；反之如果一路向东，最终就是dp[0]。

西面的情况和东边一样。
据此，可以写出动态转移方程：

dp[0]=1dp[i]=dp[i−1]+2(∑k=2idp[i−k]+1)

这蕴含着：

dp[0]=1,dp[1]=3dp[i]=2dp[i−1]+dp[i−2]

由下式可以轻松写出O(n)程序。