luogu解题报告：P3391文艺平衡树

https://www.luogu.org/problem/show?pid=3391

乍一看上去根本无法下手，由于翻转会使元素的位置发生改变，故不能使用差分；而暴力又必然TLE。于是无耻地参（zhao）考（chao）了题解区神犇的思路……

题意

维护一个数据结构，支持区间翻转。

分析

【定理1】：二叉树的性质
将二叉树上某一棵子树上所有左右儿子交换，得到的新子树的中序遍历恰与原子树中序遍历相反。

证：用归纳法，设子树规模为k
1. 若k=1，显然成立
2. 若k>1，设根为nr，子树的中序遍历为n1,n2,n3,...,nr−1,nr,nr+1,...,nk，若对于左右子树均成立，（原）左子树的中序遍历变为：nr−1,nr−2,...,n1，（原）右子树的中序遍历变为：nk,nk−1,...,nr+1，将左右子树交换，变为：nk,nk−1,nk−2,...,nr+1,nr,nr−1,...n1，要求成立。根据归纳原理，原命题得证。

【定理2】：二叉树上区间旋转性质
设二叉树上有两个元素k, p(中序遍历中k在p左侧)，利用Treap旋转将k旋到根，p旋到k的右孩子，则p的左子树恰为原中序遍历中k, p之间的所有元素。

证：由于Treap旋转不改变中序遍历，该结论显然。

基于以上两个定理可以得出以下算法：
1. 用0..n+1序列建一棵二叉排序树（Θ(nlgn)）；
2. 对于任何一个询问l, r，找到二叉树中序遍历中为l-1，r+1的两个元素记为p, q（期望Θ(lgn)）；
3. 先把q旋转到根，再把p旋转到根（由于p在q的左面，这时，p必然是根，q必然是根的右孩子）（期望Θ(lgn)）；
4. 将q的左子树上所有节点的左右孩子交换（用Lazy_Tag，摊还Θ(1)）；
5. 最后中序遍历输出[1,n]中所有元素即可

代码

代码又丑又长，将就着看吧…

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct node {
        int lc, rc, fa;
        int dat;
        int label;
        int lsize, rsize;
        node()
        {
                lsize = rsize = label = fa = lc = rc = dat = 0;
                dat = -1;
        }
        inline int size()
        {
                if (dat == -1)
                        return 0;
                return lsize + rsize + 1;
        }
} tree[1000005];
int top = 0;
int n, m;
int root = 1;

inline void push_label(int i)
{
        if (tree[i].label) {
                swap(tree[i].lc, tree[i].rc);
                swap(tree[i].lsize, tree[i].rsize);
                tree[i].label = 0;
                tree[tree[i].lc].label ^= 1;
                tree[tree[i].rc].label ^= 1;
        }
}

int build_tree(int l, int r, int &nd)
{
        if (l > r) return 0;
        if (l == r) {
                tree[nd].dat = l;
                return 1;
        }
        int mid = (l+r)>>1, ths = nd;
        tree[nd].dat = mid;
        tree[nd].lc = nd+1;
        tree[nd+1].fa = ths;
        tree[ths].lsize = build_tree(l, mid-1, ++nd);
        tree[ths].rc = nd+1;
        tree[nd+1].fa = ths;
        tree[ths].rsize = build_tree(mid+1, r, ++nd);
        return tree[ths].lsize + tree[ths].rsize + 1;
}

void dfs(int i, int tab = 0) // for debugging
{
        if (i == 0) return;
        push_label(i);
        for (int i = 1; i <= tab; i++)
                putchar(' ');
        cout << tree[i].dat << '(' << tree[i].lsize << ',' << tree[i].rsize << ',' << tree[tree[i].fa].dat << ')' << endl;
        dfs(tree[i].lc, tab+2);
        dfs(tree[i].rc, tab+2);
}

void print(int i)
{
        if (i == 0) return;
        push_label(i);
        print(tree[i].lc);
        if (tree[i].dat >= 1 && tree[i].dat <= n)
                printf("%d ", tree[i].dat);
        print(tree[i].rc);
}
inline void lift_left_up(int i)
{
        if (i == root)
                root = tree[i].lc;
        push_label(i);
        int pos = tree[i].lc;
        tree[i].lc = tree[pos].rc;
        tree[tree[pos].rc].fa = i;
        tree[pos].rc = i;
        tree[pos].fa = tree[i].fa;
        tree[i].fa = pos;
        if (tree[tree[pos].fa].rc == i)
                tree[tree[pos].fa].rc = pos;
        else
                tree[tree[pos].fa].lc = pos;
        tree[i].lsize = tree[tree[i].lc].size();
        tree[pos].rsize = tree[tree[pos].rc].size();
        //cout << tree[i].dat << " Lift Left Up Get : \n";
        //dfs(root);
}

inline void lift_right_up(int i)
{
        if (i == root)
                root = tree[i].rc;
        push_label(i);
        int pos = tree[i].rc;
        tree[i].rc = tree[pos].lc;
        tree[tree[pos].lc].fa = i;
        tree[pos].lc = i;
        tree[pos].fa = tree[i].fa;
        tree[i].fa = pos;
        if (tree[tree[pos].fa].rc == i)
                tree[tree[pos].fa].rc = pos;
        else
                tree[tree[pos].fa].lc = pos;
        tree[i].rsize = tree[tree[i].rc].size();
        tree[pos].lsize = tree[tree[pos].lc].size();
        //cout << tree[i].dat << " Lift Right Up Get : \n";
        //dfs(root);
}

inline void lift_up(int i)
{
        push_label(i);
        if (i == tree[tree[i].fa].lc)
                lift_left_up(tree[i].fa);
        else
                lift_right_up(tree[i].fa);
}

int find_kth(int i, int k) // from i, find the first element with k pre_element
{
        push_label(i);
        if (tree[i].lsize == k) 
                return i;
        if (tree[i].lsize > k)
                return find_kth(tree[i].lc, k);
        else 
                return find_kth(tree[i].rc, k-tree[i].lsize-1);
}

void lift(int l, int r)
{
        l = find_kth(root, l-1);
        r = find_kth(root, r+1);
        //cout << tree[l].dat << " " << tree[r].dat << endl;
        while (r != root) 
                lift_up(r);
        while (l != root)
                lift_up(l);
        tree[tree[r].lc].label ^= 1;
        //cout << "Successfully dealed " << l << " , " << r << endl;
}

int main()
{
        scanf("%d%d", &n, &m);
        build_tree(0, n+1, ++top);
        int l, r;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
                scanf("%d%d", &l, &r);
                lift(l, r);
        }
        print(root);
        return 0;
}

总结

这个题说实话要不是题目提示根本想不到用树……建(二声)模(轻声)思(三声)想(三声)及其(连读加快)诡(四声)异(二声)，代(二声)码(轻声)量(二声)极大(连读加重,三声、二声)。【强行Orz物理老师】

将交换左右子树的操作改变可以开发出其他功能，例如区间修改、找区间k大和区间求和（貌似代替了许多树套树的操作？）。区间问题又多了一个武器2333……