博弈论学习笔记

一、NIM取石子游戏

有n堆石子，分别有a1,a2,…,an个，现在有两名选手分别从一堆取走若干个，可以证明对于任何一个确定的状态，（如果双方都采取最优策略）。

结论：一个状态是必败态当且仅当 ⊕{ai}=0。用归纳法证明，我们观察ai的二进制位。其中Xor中最高位的1，则必然存在一个ak使得这一位位1。我们将这一位取0，后面逐位配凑使得Xor变为0，这个新的a′k<ak是显然的。我们在第k组取 ak−a′k 个即可将一个异或和不为0的序列变为0。

Xor : ...1.........
a_1 : .........1...
...
a_k : ...1.........
...
a_n : ........1....

二、有向图游戏

在一个有向无环图有一个棋子，两个玩家分别使棋子沿有向边移动一格，无法移动者输。

一些显然的结论，一个节点为必胜当且仅当后继中有一个必败态，一个节点为必败态当且仅当后继都是必胜态。我们用一个dp就可以处理出每个节点的状态。

但如果多个棋子呢？我们需要扩充一个节点储存的信息。

三、SG函数和SG定理

在有向无环图的节点v上定义SG(v)=mex{SG(u)|v→u}，其中mex A是一个集函数，表示N−A中的最小数。不难发现节点为为必败当且仅当SG为1。一个重要的定理说明了SG值和多棋子有向图游戏的关系：

SG定理：定义N个组合游戏A1,A2,…,AN，他们的和为：每一步任选一个游戏做一次移动组成的游戏。

SG(∑Ai)=SG(A1)⊕SG(A2)⊕...⊕SG(AN)

四、应用

模型构建的关键：正确地选取研究对象

例一

给定n个框，从左到右排列，每个框内初始可能有一些球。两位玩家轮流操作，每次操作可以选择一个框，然后把一个求丢到其左边的一个框内（如果左边没框则不能这么操作）。

求先手必胜/后手必胜的充要条件？

思路与解： 将每一个球当作一个研究对象，将坐标看成“堆的大小”，则问题转化为NIM。

例二

有N堆石子，除了第一堆外，每堆石子个数都不少于前一堆的石子个数。两人轮流操作每次操作可以从一堆石子中移走任意多石子，但是要保证操作后仍然满足初始时的条件。谁没有石子可移时输掉游戏。问先手是否必胜。

思路与解： 由于涉及相对，考虑用差分。差分转化为一个问题：只能向右边移动若干个石子。于是转化为一个“阶梯博弈问题”，考虑一个N级阶梯，每级上有若干石子，选手分别从每个位置向下一级阶梯移动若干石子。这一题的关键结论为：偶数级上的石子与胜负态无关（可以用归纳法证明）。那么成为了奇数级的NIM游戏。

例三

给定n堆石子，其中第i堆的石子数目为a[i]。两人轮流操作，每次操作可以选择一堆，取走x个石子，其中x必须是集合B中的数，不能操作者判负。问是否有先手必胜策略。

思路与解： 不同堆之间独立，暴力构造有向图SG，再异或起来。

例四

给定一张100*100的棋盘，在上面有一些“皇后”（可能有多个皇后在同一位置），两人轮流操作，每次操作可以选择一个皇后进行移动，但不能使其横或纵坐标变大，也不能原地不动。先将任意一个皇后移动至(0,0)者判胜。求先手是否有必胜策略。

思路与解： 考虑转化为我们熟悉的“不能动作者负”。不能到第一列，最后一行和副对角线。然后暴力构造SG再异或。